Tìm tất cả các giá trị của m để. Hàm số \( y = -x^2 + 4(m-5)x + 1 \) nghịch biến trên khoảng \( (2024;+\infty)? \) Hàm số \( y = -4x^2 + 4mx - m^2 + 2 \) nghịch biến trên \( (-2; +\infty) \)? Hàm số \( y = -x^2 + 2mx + 1 \) đồng biến trên \( (-\infty; 3) \)

Để tìm tất cả các giá trị của \( m \) cho các hàm số trong đề bài, ta sẽ phân tích từng trường hợp như sau:

### a) Hàm số \( y = -x^2 + 4(m-5)x + 1 \) nghịch biến trên khoảng \( (2024; +\infty) \)

Hàm số \( y \) là hàm bậc 2 có dạng \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \) và \( b = 4(m - 5) \). Để hàm số nghịch biến trên \( (2024; +\infty) \), ta cần derivative \( y' = -2x + 4(m-5) \) âm trong khoảng này:

1. \( y' < 0 \) khi \( -2x + 4(m - 5) < 0 \)
2. Thay \( x = 2024 \):
\[
-2(2024) + 4(m - 5) < 0 \implies 4(m - 5) < 2 \times 2024 \implies m - 5 < 1012 \implies m < 1017
\]

### b) Hàm số \( y = -4x^2 + 4mx - m^2 + 2 \) nghịch biến trên \( (-2; +\infty) \)

Hàm số này có \( a = -4 \) và \( b = 4m \). Để hàm nghịch biến:

1. \( y' = -8x + 4m \)
2. Cần \( y' < 0 \) cho \( x > -2 \):
\[
-8x + 4m < 0 \implies 4m < 8x \implies m < 2x
\]
3. Thay \( x = -2 \):
\[
4m < 2 \cdot (-2) \implies 4m < -4 \implies m < -1
\]

### c) Hàm số \( y = -x^2 + 2mx + 1 \) đồng biến trên \( (-\infty; 3) \)

Hàm số này có \( a = -1 \), \( b = 2m \). Để hàm số đồng biến:

1. \( y' = -2x + 2m \)
2. Cần \( y' \geq 0 \) cho \( x < 3 \):
\[
-2x + 2m \geq 0 \implies 2m \geq 2x \implies m \geq x
\]
3. Thay \( x = 3 \):
\[
m \geq 3
\]

### d) Hàm số \( y = mx^2 - (m^2 + 1)x + 3 \) đồng biến trên \( (3; +\infty) \)

Hàm số này có \( a = m \) và \( b = -(m^2 + 1) \). Để hàm số đồng biến, ta cần \( m > 0 \) và:

1. \( y' = 2mx - (m^2 + 1) \)
2. Cần \( y' \geq 0 \) cho \( x > 3 \):
\[
2mx - (m^2 + 1) \geq 0 \implies 2mx \geq m^2 + 1
\]
3. Thay \( x = 3 \):
\[
6m \geq m^2 + 1 \implies m^2 - 6m + 1 \leq 0
\]
4. Tìm nghiệm:
\[
D = 36 - 4 = 32 > 0 \implies m = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}
\]
Tập nghiệm là \( 3 - 2\sqrt{2} \leq m \leq 3 + 2\sqrt{2} \).

### Kết luận

Tóm lại, các giá trị của \( m \):
1. a) \( m < 1017 \)
2. b) \( m < -1 \)
3. c) \( m \geq 3 \)
4. d) \( 3-2\sqrt{2} \leq m \leq 3 + 2\sqrt{2} \)

Bạn có thể kết hợp tất cả các điều kiện trên để xác định các giá trị \( m \) thoả mãn toàn bộ các yêu cầu.