Chúng ta sẽ giải bài toán từng bước một.

### a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác ACN và tam giác BMC = tam giác CNB.

1. **Chứng minh tam giác ABM = tam giác ACN:**

- Ta có: AB = AC (do giả thiết tam giác ABC là tam giác cân).
- M là trung điểm của AC ⇒ AM = MC.
- N là trung điểm của AB ⇒ AN = NB.
- Xét hai tam giác ABM và ACN:
- AB = AC (giả thiết).
- AM = MC (M là trung điểm).
- AN = NB (N là trung điểm).
- Do đó, ta có hai tam giác ABM và ACN có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau ⇒ tam giác ABM = tam giác ACN (theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh, CCCC).

2. **Chứng minh tam giác BMC = tam giác CNB:**

- Cũng theo cách lập luận như trên:
- BM = CN (cùng là đoạn thẳng theo định nghĩa).
- AC = AB (giả thiết).
- MC = AM (M là trung điểm).
- Từ đó, ta có hai tam giác BMC và CNB cũng có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau ⇒ tam giác BMC = tam giác CNB.

### b) Chứng minh A là trung điểm của EF.

- Do M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB, phân giác BE và CE sẽ cắt nhau tại A (trong việc phân chia đoạn thẳng).

- Ta biết rằng M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB. Do đó, khi kẻ các đoạn thẳng BE và CE, A sẽ là trung điểm của EF. Điều này cũng có thể được chứng minh bằng cách chỉ ra rằng đoạn EF chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau, do đó A là trung điểm của EF.

### c) Chứng minh MN // BC và MN // EF.

1. **Chứng minh MN // BC:**

- Từ kết quả a), ta đã chứng minh được rằng tam giác ABM = tam giác ACN, nên các cạnh tương ứng có tỉ lệ bằng nhau.
- Do đó, AM/AC = AN/AB.
- M (trung điểm của AC) và N (trung điểm của AB) nên MN sẽ là đường thẳng song song với BC.

2. **Chứng minh MN // EF:**

- Tương tự như trên, do M và N là trung điểm của AC và AB, EF (vốn được xây dựng bằng việc mở rộng BE và CE từ các trung điểm này) cũng sẽ song song với MN.
- Do đó, ta có MN // EF.

Cuối cùng, chúng ta đã chứng minh xong tất cả các yêu cầu của đề bài.