Để chứng minh các câu hỏi trong bài toán này, chúng ta sẽ phân tích hình vẽ và áp dụng các định lý về hình học.

### a) Chứng minh rằng tứ giác AEMF là hình bình hành.

1. **Điều kiện để AEMF là hình bình hành**: Tứ giác AEMF là hình bình hành nếu hai cặp cạnh đối diện song song và có độ dài bằng nhau.

2. **Xét hai cặp cạnh**:
- Từ đề bài, ta có ME // AB và MF // AC. Do đó, AE // MF và AM // ME.
- Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.

3. **Cạnh đối diện**:
- AE // MF ⇒ AE = MF (theo định nghĩa của hình bình hành)
- AM = ME (vì M là trung điểm của BC)

4. **Kết luận**:
- Do đó, tứ giác AEMF hội đủ điều kiện để là hình bình hành.

### b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để AEMF là hình thoi.

1. **Tứ giác AEMF là hình thoi khi các cạnh đối diện không chỉ song song mà còn có độ dài bằng nhau**:
- Tức là AE = EM = MF = AF.

2. **Điều kiện cho hình thoi**:
- Để tứ giác AEMF là hình thoi, ta cần AE = AF và EM = MF.

3. **Chú ý**: Cần hệ thức về các góc tại điểm M (góc AEM và góc AMF):
- Xét các góc:
- Gọi góc AEM = x và góc AMF = y
- Để đảm bảo AEMF là hình thoi, ta cần x = y.

4. **Kết luận**:
- Trong tam giác ABC, nếu góc BAC = 90 độ, thì tứ giác AEMF sẽ là hình thoi (vì AE // MF và EM // AF).
- Tóm lại, điều kiện cần: Góc BAC phải bằng 90 độ hoặc các góc tại M phải thỏa mãn điều kiện x = y.

Hy vọng các phân tích trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về hình học của bài toán.