Để giải quyết bài toán, ta sẽ áp dụng các kiến thức hình học liên quan đến đường tròn và tam giác vuông.

**a) Tính bán kính đường tròn (O)**

1. Gọi bán kính của đường tròn là \( R \).
2. Vì \( AB \) là đường kính, ta có:
\[
R = \frac{AB}{2}
\]
3. Điểm \( M \) nằm giữa đoạn \( AB \), với \( AM = 1 \) cm, suy ra:
\[
MB = AB - AM = AB - 1
\]

4. Ta có tam giác vuông \( CMD \) vuông tại \( M \) với \( CD = 2\sqrt{3} \) cm. Theo định lý Pythagore:
\[
CM^2 + MD^2 = CD^2
\]
5. Trong tam giác vuông \( CMD \), có \( CM = MD \) (bởi vì điểm M chia đoạn CD thành hai đoạn bằng nhau), ký hiệu \( CM = MD = x \):
\[
x^2 + x^2 = (2\sqrt{3})^2 \implies 2x^2 = 12 \implies x^2 = 6 \implies x = \sqrt{6}
\]

6. Từ tam giác vuông \( AMB \) cũng theo định lý Pythagore:
\[
AB^2 = AM^2 + MB^2 = 1^2 + (AB - 1)^2
\]
Giải phương trình này để tìm \( AB \).

7. Thay \( AM = 1 \) và \( MB = AB - 1 \):
\[
AB^2 = 1 + (AB - 1)^2
\]
\[
AB^2 = 1 + (AB^2 - 2AB + 1)
\]
\[
2AB = 2 \implies AB = 1 \quad \text{(không hợp lý)}
\]

Vậy ta cần xem lại. Áp dụng thêm điểm \( O \).

8. Dễ thấy \( OM^2 + AM^2 = OA^2 \):

\[
OM^2 + 1^2 = R^2 \quad \text{với} \quad OM = \sqrt{R^2 - 1}
\]

9. Với \( CD = 2\sqrt{3} \):

\[
OM = \sqrt{R^2 - 1}
\]
\( CD = 2\sqrt{3} \implies MD = x = \sqrt{3} \), và dùng định lý Pythagore trong \( OMD \):
\[
OM^2 + MD^2 = OD^2
\]

10. Tính toán:

Từ những thông tin trên, ta có thể thiết lập hệ phương trình để tính \( R \).

**b) Tính số đo góc CAB**

1. Với góc CAB là một phần của tam giác:
Sử dụng định nghĩa về sin:
\[
\sin CAB = \frac{CM}{AM} = \frac{\sqrt{6}}{1}
\]

2. Tìm số đo:
\[
CAB = \arcsin(\frac{\sqrt{6}}{R})
\]

Sau đó, tính theo đơn vị độ.

**Tóm lại:**
- Tính bán kính \( R \) và số đo \( CAB \) với các phương trình đã đề cập là phương pháp chính để giải bài toán.