Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho để tìm số đo các góc của tam giác \( \Delta MNP \).

### Thông tin đã cho:
1. \( \hat{M} = \frac{M}{3} \)
2. \( \hat{N} = \frac{N}{2} \)
3. \( \hat{P} = \frac{P}{4} \)

Và trong phần b:
1. \( \hat{N} = 2 \hat{M} \)
2. \( \hat{P} - \hat{M} = 36^\circ \)

### Bước 1: Thiết lập các phương trình

Từ (a), ta có:
- \( \hat{M} = 3x \)
- \( \hat{N} = 2y \)
- \( \hat{P} = 4z \)

### Bước 2: Sử dụng thông tin trong phần b

Ta biết:
1. \( \hat{N} = 2 \hat{M} \)

Thay \( \hat{M} = 3x \) vào:
\[
\hat{N} = 2(3x) = 6x
\]

2. \( \hat{P} - \hat{M} = 36^\circ \)

Thay \( \hat{M} = 3x \) vào:
\[
\hat{P} = 3x + 36^\circ
\]

### Bước 3: Tính tổng các góc

Tổng ba góc của tam giác phải bằng \( 180^\circ \):
\[
\hat{M} + \hat{N} + \hat{P} = 180^\circ
\]

Thay vào:
\[
3x + 6x + (3x + 36^\circ) = 180^\circ
\]
\[
12x + 36^\circ = 180^\circ
\]
\[
12x = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ
\]
\[
x = \frac{144^\circ}{12} = 12^\circ
\]

### Bước 4: Tính các góc

Bây giờ chúng ta tính số đo các góc:
1. \( \hat{M} = 3x = 3(12^\circ) = 36^\circ \)
2. \( \hat{N} = 6x = 6(12^\circ) = 72^\circ \)
3. \( \hat{P} = 3x + 36^\circ = 36^\circ + 36^\circ = 72^\circ \)

### Kết quả

Sau khi tính toán, ta có:
- \( \hat{M} = 36^\circ \)
- \( \hat{N} = 72^\circ \)
- \( \hat{P} = 72^\circ \)

Tóm lại:
- \( \hat{M} = 36^\circ \)
- \( \hat{N} = 72^\circ \)
- \( \hat{P} = 72^\circ \)