Để tính \( a^{2018} + b^{2019} \) với điều kiện \( a^3 + b^3 = 3ab - 1 \), trước tiên, ta sẽ sử dụng công thức phân tích:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Do đó, ta có thể viết lại điều kiện:

\[
(a + b)(a^2 - ab + b^2) = 3ab - 1
\]

Gọi \( s = a + b \) và \( p = ab \). Khi đó, ta có:

\[
a^3 + b^3 = s(s^2 - 3p)
\]

Công thức trên trở thành:

\[
s(s^2 - 3p) = 3p - 1
\]

Bây giờ, ta phải tính \( a^{2018} + b^{2019} \). Sử dụng công thức De Moivre hoặc một số phương pháp khác, nhưng trước tiên, ta cần tìm \( a \) và \( b \) thỏa mãn phương trình để tính toán.

Giả sử \( a = 1 \) và \( b = 1 \):

\[
1^3 + 1^3 = 3 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \\
2 = 3 - 1 \Rightarrow 2 = 2 \quad \text{(đúng)}
\]

Khi đó:

\[
a = 1, b = 1
\]

Do đó:

\[
a^{2018} + b^{2019} = 1^{2018} + 1^{2019} = 1 + 1 = 2
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{2}
\]