Tìm x để diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất?

Để tìm giá trị \( x \) để diện tích tứ giác \( MNPQ \) lớn nhất, ta đầu tiên cần xác định vị trí của các điểm \( M, N, P, Q \) dựa vào giá trị \( x \).

Hình chữ nhật \( ABCD \) có độ dài cạnh \( AB = 30 \) cm và \( AD = 20 \) cm. Ta có:

- Điểm \( M \) thuộc cạnh \( BC \), do đó tọa độ của \( M \) là \( M(30, x) \).
- Điểm \( N \) thuộc cạnh \( AB \), nên tọa độ của \( N \) là \( N(30 - x, 0) \).
- Điểm \( P \) thuộc cạnh \( AD \), nên tọa độ của \( P \) là \( P(0, x) \).
- Điểm \( Q \) thuộc cạnh \( DC \), nên tọa độ của \( Q \) là \( Q(0, 20 - x) \).

Diện tích \( S \) của tứ giác \( MNPQ \) có thể tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|
\]

Trong đó, các tọa độ lần lượt là:
- \( M(30, x) \)
- \( N(30 - x, 0) \)
- \( P(0, x) \)
- \( Q(0, 20 - x) \)

Áp dụng vào công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| 30\cdot0 + (30 - x)x + 0\cdot(20 - x) + 0\cdot x - \left( x(30 - x) + 0\cdot0 + x\cdot0 + (20 - x)30 \right) \right|
\]

Tinh toán từng phần:
\[
S = \frac{1}{2} \left| 0 + (30x - x^2) + 0 + 0 - (30x - x^2 + 600 - 30x) \right| = \frac{1}{2} \left| 30x - x^2 - 600 + 30x \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 60x - x^2 - 600 \right| = \frac{1}{2} (x^2 - 60x + 600)
\]

Ta muốn tối đa hóa \( S = \frac{1}{2} (-x^2 + 60x - 600) \).

Đưa về dạng chuẩn:
\[
S = -\frac{1}{2}(x^2 - 60x + 600)
\]

Để tìm giá trị lớn nhất, ta lấy đạo hàm và đặt bằng 0:
\[
S' = -\frac{1}{2}(2x - 60) = 0 \implies 2x - 60 = 0 \implies x = 30
\]

Kiểm tra khoảng giá trị hợp lý của \( x \):
- \( x \) phải nằm trong đoạn \( [0, 20] \) vì các điểm M, N, P, Q phải trong hình chữ nhật.
- Vậy \( x = 30 \) không hợp lý.

Xét diện tích lên một khoảng giá trị hợp lý ta cần tính giá trị diện tích:
- Tại \( x = 0 \):
\[
S(0) = \frac{1}{2} (0^2 - 60 \cdot 0 + 600) = 300
\]
- Tại \( x = 20 \):
\[
S(20) = \frac{1}{2} (20^2 - 60 \cdot 20 + 600) = \frac{1}{2} (400 - 1200 + 600) = \frac{1}{2} (400) = 200
\]

Diện tích tứ giác \( MNPQ \) lớn nhất xảy ra ở \( x = 0 \) với diện tích là 300 cm².

Vậy giá trị \( x \) để diện tích tứ giác \( MNPQ \) lớn nhất là \( x = 0 \).