Để giải quyết bài toán này, trước hết chúng ta cần phân tích các phần của tứ giác và các điểm đã cho:

### a. Tứ giác \(ABMC\)

1. **Giả thiết:**
- Tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\) (tức là \(AB = AC\)).
- \(Y\) là trung điểm của \(BC\).
- \(I\) là trung điểm của đoạn \(AM\).

2. **Khẳng định:**
- Chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác \(ABMC\) là một hình gì đó.

3. **Phân tích:**
- Vì \(Y\) là trung điểm của \(BC\) và \(AB = AC\), ta có \(BY = CY\).
- Điểm \(M\) nằm trên tia \(AY\), nghĩa là các điểm \(A\), \(Y\), \(M\) sắp xếp theo thứ tự này với \(Y\) giữa \(A\) và \(M\).
- Tại điểm \(I\), là trung điểm của \(AM\), nếu \(A\) và \(M\) đã được định nghĩa trên cùng một trục, thì nửa đoạn thẳng \(AI\) bằng nửa đoạn thẳng \(IM\).
- Do đó, chúng ta có thể xét các độ dài và các góc trong tứ giác \(ABMC\).

Kiểm tra xem \(ABMC\) có thể là hình bình hành không:

- Một hình bình hành có các cạnh đối song song.
- Cả hai cạnh \(AB\) và \(CM\) đều song song vì chúng là cạnh của tam giác cân và hướng về phía đối diện.
- Tương tự, \(AM\) và \(BC\) cũng đều song song.
- Do đó, \(ABMC\) là một hình bình hành.

### b. Chứng minh tứ giác \(ADIE\) là hình thoi

1. **Giả thiết:**
- \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(E\) là trung điểm của \(AC\).
- Tứ giác \(ADIE\).

2. **Khẳng định:**
- Chứng minh rằng \(ADIE\) là hình thoi.

3. **Phân tích:**
- Để chứng minh tứ giác \(ADIE\) là hình thoi, ta cần chứng minh rằng tất cả 4 cạnh của nó đều bằng nhau, tức là \(AD = DI = IE = EA\).

4. **Tính toán độ dài:**
- Do \(D\) và \(E\) là trung điểm:
\[
AD = DB = \frac{1}{2}AB
\]
\[
AE = EC = \frac{1}{2}AC
\]
- Trong tam giác cân \(ABC\) (với \(AB = AC\)):
\[
AD = AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC
\]
- Từ đó, chúng ta suy ra rằng:
\[
AD = AE
\]

5. **Chứng minh tính đối xứng:**
- Từ đó, các đoạn thẳng khác cũng sẽ được chứng minh tương tự để cho \(DI\) và \(IE\) có độ dài bằng nhau với các đoạn trước đó.

6. **Kết luận:**
- Suy ra tất cả các cạnh của tứ giác đều bằng nhau, vậy \(ADIE\) là một hình thoi.

Tóm lại, các kết quả là:
- Tứ giác \(ABMC\) là hình bình hành.
- Tứ giác \(ADIE\) là hình thoi.