Cho tam giác ABC có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

Để chứng minh rằng tam giác \(ABC\) có \(AH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến thì tam giác \(AB\) là tam giác cân tại \(A\) và \(AH\) là phân giác của góc \(BAC\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm và tính chất**: Giả sử \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống cạnh \(BC\), tức là \(H\) thuộc cạnh \(BC\). Do \(AH\) là đường cao, ta có \(AH \perp BC\). Vì \(AH\) là đường trung tuyến, nên \(BH = HC\).

2. **Chứng minh tam giác \(ABH\) và \(ACH\) đồng dạng**:
- Ta có \(AH \perp BC\), tức là góc \(AHB = AHC = 90^\circ\).
- Xét hai tam giác \(ABH\) và \(ACH\):
- Có \(AH\) chung.
- \(BH = HC\) theo tính chất đường trung tuyến.
- \(AB = AC\) do \(ABH\) và \(ACH\) đều có \(8\) và đường cao \(AH\) bằng nhau.
- Từ đó, ta có hai tam giác \(ABH\) và \(ACH\) vuông tại \(H\) và có cặp cạnh góc vuông với cạnh huyền bằng nhau, suy ra \(ABH \cong ACH\).

3. **Kết luận từ tính chất tam giác đồng dạng**:
- Từ hai tam giác đồng dạng \(ABH \cong ACH\), ta suy ra \(AH = AH\) (cạnh huyền chung) và \(AB = AC\).
- Điều này chứng tỏ rằng \(B\) và \(C\) đối xứng qua \(AH\), từ đó suy ra tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) (\(AB = AC\)).

4. **Chứng minh \(AH\) là phân giác**:
- Vì \(H\) chia \(BC\) thành hai đoạn \(BH\) và \(HC\) bằng nhau (\(BH = HC\)), lại có \(AH\) là đường cao.
- Đường phân giác của góc \(BAC\) chính là đường đi qua \(A\) và chia góc \(BAC\) thành hai góc bằng nhau. Do \(AB = AC\), \(H\) là trung điểm của \(BC\), tức là \(AH\) cũng là phân giác của góc \(BAC\).

Vậy, ta đã chứng minh rằng:
- Tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\),
- \(AH\) là phân giác của góc \(BAC\).

Chứng minh hoàn tất.