Để chứng minh \( \triangle AHC = \triangle IKA \), ta sẽ sử dụng tiêu chí đồng dạng của tam giác.

**1. Cạnh huyền:**
- Trong tam giác vuông \( \triangle AHC \) và \( \triangle IKA \), cạnh huyền của cả hai tam giác là:
- \( AC \) của \( \triangle AHC \)
- \( AI \) của \( \triangle IKA \)

Vì \( AI = AC \) theo giả thiết, ta có \( AC = AI \).

**2. Cạnh góc vuông:**
- Góc vuông ở \( A \) trong \( \triangle AHC \) và góc vuông ở \( I \) trong \( \triangle IKA \).
- Điều này có nghĩa là:
- \( \angle AHC = 90^\circ \)
- \( \angle IKA = 90^\circ \)

**3. Tính chất về góc:**
- Ta chứng minh rằng \( AH \) và \( IK \) song song bằng chứng \( AH \perp BC \) và \( IK \perp AH \).

**4. Kết luận:**
Chúng ta đã có:
- \( AC = AI \) (cạnh huyền)
- \( \angle AHC = \angle IKA = 90^\circ \) (cạnh góc vuông)
- \( AH \parallel IK \)

Do đó, theo tiêu chí đồng dạng \( (cạnh-góc-cạnh) \), ta suy ra được \( \triangle AHC \sim \triangle IKA \).

Vì vậy, theo tính chất cạnh tương ứng, ta có \( \triangle AHC = \triangle IKA \).

Chứng minh hoàn tất!