Cho a, b là 2 stn thỏa mãn (a, b)=1, ab=c^2. Chứng minh a, b là số chính phương

Để chứng minh rằng a và b là các số chính phương dưới điều kiện \( (a, b) = 1 \) và \( ab = c^2 \) cho một số nguyên \( c \), ta có thể làm như sau:

Gọi \( a \) và \( b \) là hai số nguyên dương có \( (a, b) = 1 \) và \( ab = c^2 \). Ta sẽ phân tích các số nguyên dương \( a \) và \( b \) theo dạng phân tích thừa số nguyên tố:

\[
a = p_1^{x_1} p_2^{y_1} \dots p_k^{z_1}
\]
\[
b = p_1^{x_2} p_2^{y_2} \dots p_k^{z_2}
\]

Trong đó, \( p_1, p_2, \ldots, p_k \) là các số nguyên tố khác nhau, và \( x_i, y_i, z_i \) là các số nguyên không âm.

Vì \( (a, b) = 1 \), tức là a và b không có thừa số nguyên tố chung nào, nên nếu \( p_i \) là một số nguyên tố chia cả a và b thì phải có \( x_1 = 0 \) hoặc \( x_2 = 0 \) cho tất cả các \( p_i \). Do đó, có hai trường hợp xảy ra:

- Nếu \( p_i \) là thừa số của \( a \), thì \( x_2 = 0 \) (tức là \( b \) không có thừa số \( p_i \)).
- Tương tự nếu \( p_i \) là thừa số của \( b \), thì \( x_1 = 0 \).

Do đó, ta có thể viết lại \( a \) và \( b \) như sau:

\[
a = p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}
\]
\[
b = q_1^{y_1} \cdots q_m^{y_m}
\]

Trong đó \( p_i \) và \( q_j \) là các số nguyên tố khác nhau.

Bây giờ, theo điều kiện \( ab = c^2 \):

\[
ab = (p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k})(q_1^{y_1} \cdots q_m^{y_m}) = c^2
\]

Giả sử \( c \) có dạng phân tích thừa số nguyên tố:

\[
c = r_1^{z_1} r_2^{z_2} \cdots r_t^{z_t}
\]

Vậy ta có:

\[
c^2 = r_1^{2z_1} r_2^{2z_2} \cdots r_t^{2z_t}
\]

Để \( ab = c^2 \), thì các số mũ trong phân tích thừa số của \( a \) và \( b \) phải đồng nhất với các số mũ trong \( c^2 \). Do đó, tổng số mũ của mỗi số nguyên tố trong \( a \) và \( b \) phải là số chẵn (bởi vì \( c^2 \) có số mũ chẵn).

Ta đã có:

\[
x_1 + y_1 = 2u_1, \quad x_2 + y_2 = 2u_2, \ldots
\]

Đến đây \( x_i \) và \( y_j \) đều là các số nguyên không âm. Do đó, mỗi \( x_i \) và \( y_j \) phải là số chẵn (vì \( x_i \) hoặc \( y_j \) có thể bằng 0). Mà nếu \( x_i \) là số chẵn thì \( a = p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots \) cũng thế, nghĩa là \( a \) là số chính phương. Tương tự cho \( b \).

Kết luận, vì cả \( a \) và \( b \) đều có dạng như trên và thỏa mãn điều kiện \( ab = c^2 \), nên ta khẳng định rằng \( a \) và \( b \) đều là các số chính phương.