Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( AI \) trong tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) là phân giác góc \( \angle BAC \) và đồng thời là trung tuyến, ta sẽ làm theo các bước sau:

### 1. Tam giác cân và các đặc điểm

Giả sử tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nghĩa là \( AB = AC \). \( AI \) là đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).

### 2. Chứng minh AI là phân giác góc BAC

Tam giác \( ABC \) có tính đối xứng qua đường cao \( AI \). Nghĩa là:

- Cạnh \( AB \) bằng cạnh \( AC \).
- Hai tam giác \( ABI \) và \( ACI \) là hai tam giác bằng nhau (đối xứng qua đường cao):

\[
AB = AC \quad (1)
\]
\[
AI = AI \quad (2)
\]
\[
BI = CI \quad (3) \quad \text{(phân giác, vì I là trung điểm của BC)}
\]

Từ các điều kiện này, ta có kết luận rằng:

\[
\triangle ABI \cong \triangle ACI \quad \text{(theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh)}
\]

Vì \( \triangle ABI \) và \( \triangle ACI \) bằng nhau, thì:

\[
\angle ABI = \angle ACI
\]

Điều này cho thấy \( AI \) là phân giác của góc \( BAC \).

### 3. Chứng minh AI là trung tuyến

Vì \( I \) là chân đường cao từ \( A \) và \( AI \) là đường cao chia \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau (tính đối xứng của tam giác cân), nên:

\[
BI = CI
\]

Do đó, \( AI \) đồng thời cũng là trung tuyến trong tam giác \( ABC \).

### Kết luận

Từ các lập luận trên, ta đã chứng minh được rằng trong tam giác \( ABC \) cân tại \( A \):

- \( AI \) là phân giác góc \( BAC \).
- \( AI \) là đoạn thẳng trung tuyến.

Chứng minh đã hoàn thành.