Cho ΔABC vuông tại A, biết AB/AC = 1/3. Tính số đo B và C của ΔABC

Để giải bài toán này, trước tiên ta có hệ thức giữa các cạnh của tam giác vuông.

Giả sử \( AB = 1x \) và \( AC = 3x \) (theo tỉ lệ đã cho).

Do tam giác vuông tại \( A \), ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = (1x)^2 + (3x)^2 = x^2 + 9x^2 = 10x^2
\]
\[
BC = \sqrt{10}x.
\]

**a)** Tính số đo góc \( B \) và góc \( C \).

Sử dụng định nghĩa tang giác:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{3x}{1x} = 3.
\]
Do đó,
\[
B = \tan^{-1}(3).
\]

Tương tự cho góc \( C \):
\[
\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{1x}{3x} = \frac{1}{3}.
\]
Do đó,
\[
C = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right).
\]

Ngoài ra, vì tổng ba góc của tam giác bằng \( 180^\circ \) và góc \( A = 90^\circ \):
\[
B + C = 90^\circ.
\]

**b)** Kẻ \( AH \perp BC \) (với \( H \in BC \)).

Tính tỉ số:
\[
\frac{BH}{CH} = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{1} = 3.
\]

**c)** Biết diện tích \( \Delta ABC \) bằng \( 15cm^2 \). Tính diện tích \( \Delta ABH \).

Diện tích của tam giác vuông:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = 15.
\]
Từ đó:
\[
\frac{1}{2} \cdot x \cdot 3x = 15 \implies \frac{3x^2}{2} = 15 \implies 3x^2 = 30 \implies x^2 = 10 \implies x = \sqrt{10}.
\]

Cho \( AB = \sqrt{10} \) và \( AC = 3\sqrt{10} \).

Tính diện tích \( \Delta ABH \):
\[
S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH.
\]
Do \( AH \) là chiều cao từ \( A \) đến \( BC \), mà \( AH \) tỉ lệ với \( AC \) nên:
\[
AH = \frac{AC \cdot AB}{BC} = \frac{(3\sqrt{10}) \cdot (\sqrt{10})}{\sqrt{10}\sqrt{10}} = \frac{30}{10} = 3.
\]
Diện tích \( \Delta ABH \):
\[
S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{10}}{2}.
\]

Tóm lại:
- Góc \( B = \tan^{-1}(3) \) và góc \( C = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \).
- Tỉ số \( \frac{BH}{CH} = 3 \).
- Diện tích \( \Delta ABH = \frac{3\sqrt{10}}{2} \).