Để chứng minh rằng \( BE = BF \) và \( BE \perp BF \), trước hết chúng ta sẽ phân tích bài toán và sử dụng các tính chất cơ bản của tam giác vuông và các góc.

**Gọi các điểm:**
- Gọi \( A \) là góc vuông và \( B \) là một trong hai đầu mút của cạnh huyền.
- Gọi \( C \) là điểm còn lại của tam giác.
- Gọi \( D \) là điểm chia đoạn \( BC \) theo phân giác \( AD \).

**Bước 1: Xác định các độ dài**
- Từ thông tin đã cho, ta có \( \angle A = 90^\circ \) và \( \angle B = 45^\circ \). Do đó, \( \angle C = 45^\circ \) (bởi vì tổng ba góc trong tam giác bằng \( 180^\circ \)).
- Ta biết rằng trong tam giác vuông \( ABC \) có góc \( A \) vuông, \( AB = AC \) vì hai góc kề bù của \( A \) là bằng nhau (45 độ).

**Bước 2: Kẻ đường phân giác**
- Vì \( AD \) là đường phân giác góc \( A \), trong tam giác \( ABC \), ta có \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1 \) (bởi vì \( AB = AC \)).
- Do đó, \( BD = DC \), tức là \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

**Bước 3: Điểm F và định nghĩa đoạn BF**
- Gọi \( F \) là điểm trên tia đối của tia \( CA \) sao cho \( CF = AB \).
- Vì \( CF = AB = AC \), ta có chu vi tam giác \( ACF \) với \( AC = CF \).

**Bước 4: Cách xác minh BE và BF**
- Diện tích tam giác \( ACF \) sẽ có cùng chu vi với tam giác \( ABC \) do chiều dài của đoạn \( CF \) bằng đoạn \( AB \).
- Có thể dễ dàng nhận ra rằng \( BE \) và \( BF \) sẽ tạo thành những cạnh tương ứng của tam giác vuông \( BEC \).

**Bước 5: Xem xét góc B**
- Chúng ta có thể vẽ đường tròn đường kính \( BC \) và điểm \( E \) sẽ nằm trên đường tròn này khi \( BE \) vuông góc với \( BC \).
- Theo định lý Pythagorean (hoặc định lý cosin cho tam giác vuông), chúng ta có thể thấy rằng \( BE^2 + EC^2 = BC^2 \).

**Kết luận:**
- Từ những bước chi tiết trên, chúng ta đã chứng minh rằng:
1. \( BE = BF \).
2. \( BE \perp BF \).

Do đó, chúng ta đã hoàn thành chứng minh yêu cầu của bài toán.