Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ điểm D và E sao cho N là trung điểm của BD và M là trung điểm của CE. Chứng minh rằng: ∆ CNB= ∆ AND

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm, và các tính chất của tam giác.

### a) Chứng minh rằng \(\Delta CNB \cong \Delta AND\)

1. **Các điểm được xác định:**
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), tức là \(AM = MB\).
- Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\), tức là \(AN = NC\).
- \(D\) và \(E\) được vẽ sao cho \(N\) là trung điểm của \(BD\) và \(M\) là trung điểm của \(CE\). Vậy \(BN = ND\) và \(CM = ME\).

2. **Các cặp cạnh tương ứng:**
- Ta có: \(AN = NC\) (tính chất của trung điểm)
- Ta có: \(CN = BN\) (do \(N\) là trung điểm của \(BD\))
- Ta có: \(NM = AM\) (do \(M\) là trung điểm của \(AB\))

3. **Các góc tương ứng:**
- Xét góc \(CNB\) và góc \(AND\): Do hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau và một góc kề, theo tiêu chí cạnh, cạnh, góc (CCG), ta có:
- Cạnh \(CN\) bằng cạnh \(AN\)
- Cạnh \(BN\) bằng cạnh \(ND\)
- Góc \(CMB\) bằng góc \(ANB\) (do \(M\) và \(N\) là tọa độ trung điểm)

Từ đó, ta có \(\Delta CNB \cong \Delta AND\).

### b) Chứng minh rằng \(AD = BC\) và \(AD \parallel BC\)

1. **Chất lượng của các đoạn thẳng:**
- Từ \(\Delta CNB \cong \Delta AND\), ta suy ra rằng cạnh tương ứng \(AD\) bằng cạnh \(BC\). Do đó:
\[
AD = BC
\]

2. **Đường thẳng song song:**
- Vì hai tam giác này là đồng dạng, theo tính chất hình học, các cạnh tương ứng \(AD\) và \(BC\) sẽ song song lại với nhau:
\[
AD \parallel BC
\]

### c) Chứng minh rằng \(A\) là trung điểm của \(ED\)

1. **Chắc chắn rằng từ \(M\) và \(N\), có các trung điểm và chiều dài cạnh:**
- Ta đã chứng minh rằng \(M\) và \(N\) chính là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) rồi. Nếu gán thêm chiều dài các đoạn \(EM\) và \(MD\) thì sẽ dễ dàng tìm được chiều dài \(ED\).

2. **Dùng tính chất trung điểm để chứng minh:**
- Nếu \(M\) làm trung điểm của \(CE\) và \(D\) là điểm sao cho \(N\) là trung điểm của \(BD\), thì theo đặc tính của các đường chéo (bộ ba trung điểm), ta có:
\[
AE = AD = ED
\]
và
\[
A = \frac{E+D}{2}
\]

Vậy từ điều trên, ta suy ra rằng \(A\) chính là trung điểm của đoạn thẳng \(ED\).

Vậy ta đã chứng minh được cả 3 yêu cầu của bài toán.