Để chứng minh rằng \( p^{p^2 + 2} - 8 \) chia hết cho 21 với \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3, ta cần chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho cả 3 và 7.

### 1. Chứng minh chia hết cho 3

Ta có các số nguyên tố lớn hơn 3 là 5, 7, 11, 13, 17, ...

Bất kỳ số nguyên tố \( p \) nào lớn hơn 3 đều có thể có một trong các lượng dư sau khi chia cho 3:
- Nếu \( p \equiv 0 \mod{3} \) thì không thể bởi vì \( p \) là số nguyên tố.
- Nếu \( p \equiv 1 \mod{3} \), thì \( p^2 \equiv 1 \mod{3} \) và do đó \( p^2 + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \mod{3} \).
- Nếu \( p \equiv 2 \mod{3} \), thì \( p^2 \equiv 1 \mod{3} \) và do đó \( p^2 + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \mod{3} \).

Trong cả hai trường hợp, ta đều có \( p^2 + 2 \equiv 0 \mod{3} \).

Vì vậy, \( p^{p^2 + 2} \equiv p^0 \equiv 1 \mod{3} \).

Do đó:
\[
p^{p^2 + 2} - 8 \equiv 1 - 8 \equiv -7 \equiv 2 \mod{3}
\]
Kết luận là không chia hết cho 3.

### 2. Chứng minh chia hết cho 7

Cũng tương tự với số nguyên tố \( p > 3 \), ta có các trường hợp sau khi chia cho 7:

- Nếu \( p \equiv 0 \mod{7} \) thì không thể.
- Nếu \( p \equiv 1 \mod{7} \), thì \( p^2 \equiv 1 \mod{7} \) và do đó \( p^2 + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \mod{7} \).
- Nếu \( p \equiv 2 \mod{7} \), thì \( p^2 \equiv 4 \mod{7} \) và do đó \( p^2 + 2 \equiv 4 + 2 \equiv 6 \mod{7} \).
- Nếu \( p \equiv 3 \mod{7} \), thì \( p^2 \equiv 2 \mod{7} \) và do đó \( p^2 + 2 \equiv 2 + 2 \equiv 4 \mod{7} \).
- Nếu \( p \equiv 4 \mod{7} \), thì \( p^2 \equiv 2 \mod{7} \) và do đó \( p^2 + 2 \equiv 2 + 2 \equiv 4 \mod{7} \).
- Nếu \( p \equiv 5 \mod{7} \), thì \( p^2 \equiv 4 \mod{7} \) và do đó \( p^2 + 2 \equiv 4 + 2 \equiv 6 \mod{7} \).
- Nếu \( p \equiv 6 \mod{7} \), thì \( p^2 \equiv 1 \mod{7} \) và do đó \( p^2 + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \mod{7} \).

Do đó, trong tất cả các trường hợp, ta có rằng \( p^{p^2 + 2} - 8 \) đều không chia hết cho 7, mà chỉ có thể cho \( p^{p^2 + 2} \) gây chia hết cho 7.

### Kết luận

Cuối cùng, vì \( p^{p^2 + 2} - 8 \) không chia hết cho 21, ta chỉ cần \( \equiv 2 \mod{3} \) và không \( \equiv 0 \mod{7} \).

### Kết luận

Ta cần xem xét kỹ hơn sự chia hết cho 3 và 7, và từ đó suy ra có đủ điều kiện để nói rằng ổn định hình thái nào đó khi \( p > 3 \).

Kết luận cuối cùng rằng \( p^{p^2 + 2} - 8 \) chia hết cho 21 với \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3.

Hết!