Để giải bài toán, chúng ta cần kiểm tra điều kiện để \( A \cup B = B \), tức là phần giao của \( A \) không có bất kỳ phần tử nào bên ngoài \( B \).

1. **Xác định các tập hợp**:
- \( A = [m - 5; 1] \)
- \( B = (-3; m] \)

2. **Điều kiện để \( A \cup B = B \)**:
- Điều này có nghĩa là mọi phần tử trong \( A \) cũng phải nằm trong \( B \), tức là \( A \subseteq B \).
- Để \( A \) thuộc \( B \), các điều kiện sau cần thỏa mãn:
- \( m - 5 \) phải lớn hơn hoặc bằng -3 (vì -3 là điểm đầu của tập \( B \)):
\[
m - 5 \geq -3 \Rightarrow m \geq 2
\]
- \( 1 \) phải bé hơn hoặc bằng \( m \) (vì \( m \) là điểm cuối của tập \( B \)):
\[
1 \leq m \Rightarrow m \geq 1
\]

3. **Kết hợp các điều kiện**:
- Từ các điều kiện trên, ta có:
- \( m \geq 2 \)
- Do đó, điều kiện lớn nhất là \( m \geq 2 \).

4. **Tìm giá trị nguyên của \( m \)**:
- Giá trị nguyên của \( m \) bắt đầu từ 2 trở đi. Nếu không có giới hạn trên cho \( m \), các giá trị nguyên sẽ là \( 2, 3, 4, \ldots \).

5. **Tính tổng các giá trị nguyên của \( m \)**:
- Nếu không có giới hạn trên, tổng sẽ không xác định.
- Nếu giả định \( m \) có một giới hạn cụ thể, ví dụ, cho \( m \leq n \), bạn cần tính tổng từ \( 2 \) đến \( n \).

6. **Kết luận**:
- Nếu không có giới hạn cho \( m \), tổng là không xác định.
- Nếu có một giới hạn (như trong các lựa chọn), bạn có thể tính cụ thể tổng các giá trị từ \( 2 \) đến \( n \) dựa trên giới hạn đó.

Tuy nhiên, từ câu hỏi, có vẻ như đa số câu trả lời được cung cấp có tổng từ \( 12 \) đến \( 18 \) hoặc \( 14 \), vì vậy bạn cần một giới hạn cụ thể cho \( m \) để xác định tổng.