Để chứng minh K là trung điểm của PQ, ta sẽ sử dụng một số tính chất về trung tuyến và hình học.

1. **Đặt hệ tọa độ**: Giả sử ta có tam giác ABC với A(0, 0), B(b, 0), C(c, h). Trung điểm M của cạnh BC sẽ có tọa độ M = ((b+c)/2, h/2).

2. **Dựng PQ**: Gọi P(x1, y1) và Q(x2, y2) lần lượt trên cạnh AB và AC. Theo giả thiết, PQ song song với BC, tức là vector PQ sẽ song song với vector BC.

3. **Hệ số góc**: Khi PQ song song BC, nghĩa là tỷ lệ giữa độ dốc (hệ số góc) của PQ và BC phải giống nhau. Cụ thể, ta có:
- Độ dốc của BC: (h - 0) / (c - b) = h / (c - b)
- Độ dốc của PQ: (y2 - y1) / (x2 - x1)

4. **Thiết lập tỉ lệ**: Do PQ song song với BC nên:
\[
\frac{y2 - y1}{x2 - x1} = \frac{h}{c - b}
\]

5. **Tính giao điểm K**: Gọi K là giao điểm của AM và PQ. Vì K nằm trên trung tuyến AM, ta áp dụng định lý trung tuyến, cho biết rằng K chia AM với tỉ lệ 2:1.

6. **Chứng minh K là trung điểm của PQ**: Với K nằm trên AM, ta có thể tìm tọa độ của K bằng cách lấy trung điểm của đoạn thẳng PQ.

7. **Sử dụng định lý Thales**: Định lý này nói rằng nếu 1 đường thẳng song song với 1 cạnh của tam giác cắt 2 cạnh còn lại, thì nó chia hai cạnh đó với tỉ lệ bằng nhau. Do đó, K sẽ chia PQ tỉ lệ 1:1.

Vì vậy, từ những lý luận trên, ta có thể đi đến kết luận rằng K, giao điểm của AM và PQ, chính là trung điểm của PQ. Bằng chứng này cho thấy K là trung điểm mà không cần thêm giả thiết nào khác.

Chứng minh hoàn thành.