Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. HE vuông AB tại E, HD vuông AC tại D. Qua A kẻ đưởng thẳng vuông góc với AD cắt BC tại O

Để chứng minh \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \), ta có thể sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và hình chiếu.

1. **Gọi điểm**: Gọi \( B(x_1, y_1) \) và \( C(x_2, y_2) \).

2. **Tọa độ**: Với tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), có thể đặt \( A(0, 0) \), \( B(0, b) \) và \( C(c, 0) \). Kích thước và tọa độ có thể thay đổi nhưng không làm mất tính chất của bài toán.

3. **Tính độ dài đoạn thẳng**: Tính độ dài đoạn thẳng \( BC \):
\[
BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

4. **Điều kiện vuông góc**: \( AD \) và \( AH \) đều là đường cao trong tam giác vuông, do đó điểm \( D \) nằm trên cạnh \( AC \) và điểm \( E \) nằm trên cạnh \( AB \). Do đó, điểm \( O \) được xác định là giao điểm của đường thẳng đi qua \( A \) vuông góc với \( AD \) và cạnh \( BC \).

5. **Cách chứng minh**: Ta sẽ chứng minh rằng \( OB = OC \):
- Từ tính chất vuông góc, khi kẻ đường thẳng đi qua \( A \) vuông góc với \( AD \), ta sẽ sử dụng tính chất hình chiếu.
- Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \). Khi đó, \( O \) là hình chiếu của \( A \) lên \( BC \).
- Theo tính chất của hình chiếu, ta có \( OB = OC \).

6. **Kết luận**: Do đó, điểm \( O \) chính là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

Chúng ta đã chứng minh rằng \( O \) là trung điểm của \( BC \).