Để phân tích nhân tử biểu thức \( E = (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) - 9 \), ta có thể bắt đầu việc mở rộng các yếu tố trong dấu ngoặc.

Trước tiên, chúng ta nhận thấy rằng biểu thức \((x+1)(x+3)(x+5)(x+7)\) có thể được viết lại bằng cách kết hợp các cặp:

1. Nhân \((x+1)(x+7)\):
\[
(x+1)(x+7) = x^2 + 8x + 7
\]

2. Nhân \((x+3)(x+5)\):
\[
(x+3)(x+5) = x^2 + 8x + 15
\]

Bây giờ chúng ta sẽ nhân hai kết quả này lại với nhau:

\[
E = (x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) - 9
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích để dễ dàng làm việc với biểu thức.

Đặt \(y = x^2 + 8x\), lúc này ta có:

\[
E = (y + 7)(y + 15) - 9
\]

Mở rộng biểu thức trên:

\[
= y^2 + 15y + 7y + 105 - 9
\]
\[
= y^2 + 22y + 96
\]

Bây giờ, thay \(y\) trở lại thành \((x^2 + 8x)\):

\[
E = (x^2 + 8x)^2 + 22(x^2 + 8x) + 96
\]

Để phân tích tiếp \(E\), ta có thể sử dụng công thức hoàn thành bình phương:

Bây giờ, hãy tìm nghiệm của phương trình bậc hai này. Phương trình đã có dạng:

\[
E = a(y^2 + 22y + 96)
\]

Chúng ta sẽ dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \(a = 1\), \(b = 22\) và \(c = 96\):

\[
D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 484 - 384 = 100 > 0
\]

Giải phương trình:

\[
y = \frac{-22 \pm 10}{2}
\]

Giá trị của \(y\):

1. \(y_1 = \frac{-12}{2} = -6\)
2. \(y_2 = \frac{-32}{2} = -16\)

Như vậy, ta có:

\[
x^2 + 8x + 6 = 0 \quad \text{và} \quad x^2 + 8x + 16 = 0
\]

Giải từng phương trình:

1. \(x^2 + 8x + 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2} = -4 \pm 1 = -3 \text{ và } -5\)
2. \(x^2 + 8x + 16 = 0 \Rightarrow x = \frac{-8 \pm 0}{2} = -4\)

Vậy nghiệm của \(E = 0\) khi:
- \(x = -3\)
- \(x = -5\)
- \(x = -4\)

**Kết luận**: Biểu thức có dạng phân tích:

\[
E = (x + 3)(x + 5)(x + 4)
\]

Đây là các nhân tử của biểu thức đầu vào.