Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán đã cho, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh M, A, N thẳng hàng.

1. **Vẽ hình**: Trước hết, ta vẽ tam giác ABC với \(\angle BAC = 60^\circ\). Tiếp theo, vẽ hai tam giác đều AMB và ANC phía ngoài tam giác ABC.

2. **Tính các góc**:
- Từ tam giác đều AMB, ta có \(\angle AMB = 60^\circ\).
- Từ tam giác đều ANC, ta có \(\angle ANC = 60^\circ\).

3. **Xét góc tại A**:
- Có: \(\angle BAM + \angle CAM + \angle BAC = 180^\circ\).
- Vì \(\angle BAC = 60^\circ\) và \(\angle AMB = 60^\circ\), ta có \(\angle BAM + \angle CAM = 120^\circ\).
- Suy ra: \(\angle BAM + \angle CAM = 120^\circ\).

4. **Chứng minh thẳng hàng**:
- Ta thấy: \(\angle MAN = \angle BAM + \angle CAM = 120^\circ\).
- Do đó, M, A, N thẳng hàng vì tổng các góc quanh điểm A bằng 180°.

### b) Chứng minh BN = CM.

1. **Căn cứ vào hình vẽ**:
- Tam giác AMB đều nên AM = MB.
- Tam giác ANC đều nên AN = NC.

2. **Sử dụng đường chéo**:
- Ta có các đoạn thẳng:
- \(MB = AM\)
- \(NC = AN\)

3. **Xét hai tam giác**
- Ta phân tích tam giác ABC với các điểm M, N:
- Xét \(\triangle AMB\) và \(\triangle ANC\), ta có:
- \(AN = AM\) (cùng độ dài cạnh bên)
- \(\angle AMB = \angle ANC = 60^\circ\).

4. **Suy ra**:
- Bằng phương pháp hình học hoặc tính chất các đoạn thẳng, ta có:
- \(BM = CN\).
- Từ đó, áp dụng tính chất đường cao và pháp tuyến trong các tam giác đều, đồng thời áp dụng định lý Pitago nếu cần thiết.

Do đó, ta có \(BN = CM\) giữ nguyên tính chất cân bằng về mặt chiều dài.

### Kết luận:
- M, A, N thẳng hàng và \(BN = CM\) đã được chứng minh.