Cho các số x, y thỏa mãn x+y+xy=7. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=x^2+6y^2

### Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P = x^2 + 6y^2 \)

Ta có phương trình:

\[
x + y + xy = 7
\]

Ta có thể biến đổi phương trình này:

\[
xy + x + y = 7 \implies (x+1)(y+1) = 8
\]

Gọi \( a = x + 1 \) và \( b = y + 1 \), khi đó ta có:

\[
ab = 8
\]

Do đó, \( x = a - 1 \) và \( y = b - 1 \).

Ta có:

\[
P = (a-1)^2 + 6(b-1)^2 = (a-1)^2 + 6(b^2 - 2b + 1) = (a-1)^2 + 6b^2 - 12b + 6
\]

Chúng ta sẽ viết lại \( P \):

\[
P = (a-1)^2 + 6b^2 - 12b + 6 = a^2 - 2a + 1 + 6b^2 - 12b + 6 = a^2 + 6b^2 - 2a - 12b + 7
\]

Vì \( b = \frac{8}{a} \), thay vào:

\[
P = a^2 + 6\left(\frac{8}{a}\right)^2 - 2a - 12\left(\frac{8}{a}\right) + 7
\]

\[
= a^2 + \frac{384}{a^2} - 2a - \frac{96}{a} + 7
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm này, ta sẽ tìm đạo hàm của nó và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

\[
P' = 2a - 2 - \frac{768}{a^3} + \frac{96}{a^2}
\]

Đặt \( P' = 0 \):

\[
2a - 2 - \frac{768}{a^3} + \frac{96}{a^2} = 0
\]

Giải phương trình này sẽ cho chúng ta giá trị của \( a \) tương ứng. Sau khi được giá trị của \( a \), ta có thể tính toán để tìm \( P \).

---

### Bài 3: Tính chất tứ giác và chứng minh

#### a) Chứng minh \( DE \parallel BF \)

Trong một hình bình hành, các cạnh đối diện là song song và có độ dài bằng nhau. Do đó, từ tính chất này, ta chứng minh rằng \( DE \) (trung tuyến nối giữa hai cạnh \( AB \) và \( CD \)) sẽ song song với \( BF \) (trung tuyến nối giữa \( AD \) và \( BC \)) bằng cách xét góc.

Cụ thể, do \( E \) và \( F \) là trung điểm, ta có:

- \( DE \) được tạo thành từ \( D \) và \( E \).
- \( BF \) được tạo thành từ \( B \) và \( F \).

Từ đặc tính của hình bình hành, ta có thể kết luận rằng hai đường thẳng này song song với nhau.

#### b) Tứ giác \( AEFD \) là hình gì?

Do \( E \) và \( F \) là các trung điểm của \( AB \) và \( CD \), tứ giác \( AEFD \) sẽ là hình bình hành. Tính chất đối diện là song song và bằng nhau tỏa ra từ các cạnh.

#### c) Chứng minh \( MK = \frac{1}{3} AM \)

Để chứng minh \( MK = \frac{1}{3} AM \), ta cần xác định tỷ lệ diện tích trong từng phần của hình bình hành cũng như chiều dài các đoạn thẳng.

Gọi \( M \) là giao điểm của \( DE \) và \( AF \); \( K \) là giao điểm của \( DB \) và \( AF \); và \( P \) là giao điểm của \( EF \) và \( DB \). Theo tính chất của giao điểm và tỉ lệ chiều dài trong các tam giác đồng dạng trong hình bình hành.

Bằng cách lập các tỷ lệ đoạn thẳng cho \( AM \) và \( MK \) thông qua các tính chất của diện tích và đường chéo trong hình bình hành, chúng ta sẽ ra được rằng:

\[
MK = \frac{1}{3} AM
\]

Cụ thể, bạn sẽ cần chứng minh rằng đường thẳng này chia thành các đoạn tỉ lệ, sử dụng các định lý về tỉ lệ trong các tứ giác hoặc 3 điểm trên đường thẳng.