Để giải phương trình lượng giác \( \cos^2 x - \sin^2 x + 1 = 0 \), trước hết ta có thể sử dụng định nghĩa của các hàm lượng giác:

\[
\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x
\]

Thay vào phương trình, ta có:

\[
\cos 2x + 1 = 0
\]

Sắp xếp lại cho dễ hiểu hơn:

\[
\cos 2x = -1
\]

Từ định nghĩa của hàm cos, ta biết rằng \( \cos 2x = -1 \) sẽ xảy ra khi:

\[
2x = (2k + 1)\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Từ đó, ta giải cho \( x \):

\[
x = \frac{(2k + 1)\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]