Để cân bằng phương trình hóa học:

\[ \text{KMnO}_4 + \text{H}_2\text{O} + \text{K}_2\text{SO}_3 \rightarrow \text{MnO}_2 + \text{K}_2\text{SO}_4 + \text{KOH} \]

Chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Liệt kê số nguyên tử của từng nguyên tố ở cả hai vế**:
- Phía trái:
- K: 1
- Mn: 1
- O: 4 (từ KMnO4) + 1 (từ H2O) + 3 (từ K2SO3) = 8
- H: 2 (từ H2O)
- S: 1 (từ K2SO3)
- Phía phải:
- K: 2 (từ K2SO4) + 1 (từ KOH) = 3
- Mn: 1
- O: 2 (từ MnO2) + 4 (từ K2SO4) + 1 (từ KOH) = 7
- H: 1 (từ KOH)
- S: 1 (từ K2SO4)

2. **Cân bằng từng nguyên tố**:
- **K**: Tăng số mol của KMnO4 lên 2:
\[ 2\text{KMnO}_4 + \text{H}_2\text{O} + \text{K}_2\text{SO}_3 \rightarrow \text{MnO}_2 + \text{K}_2\text{SO}_4 + \text{KOH} \]
- **Mn**: Cũng đã cân bằng, giữ lại như cũ.
- **S**: Số mol K2SO3 và K2SO4 vẫn giữ nguyên.
- **H**: Cân bằng H bằng cách tăng nước:
\[ 2\text{KMnO}_4 + 2\text{H}_2\text{O} + \text{K}_2\text{SO}_3 \rightarrow \text{MnO}_2 + \text{K}_2\text{SO}_4 + 2\text{KOH} \]

Sau khi kiểm tra lại từng nguyên tố, phương trình đã được cân bằng hoàn toàn. Kết quả cuối cùng là:

\[ 2\text{KMnO}_4 + 2\text{H}_2\text{O} + \text{K}_2\text{SO}_3 \rightarrow \text{MnO}_2 + \text{K}_2\text{SO}_4 + 2\text{KOH} \]