Chúng ta sẽ phân tích đa thức thành nhân tử cho các bài đã cho, và sau đó tính giá trị cho các đa thức ở bài 15.

### Bài 14:
**a)** Đa thức \( x^2 - 6xy + 9y^2 \) có thể phân tích như sau:

Đa thức này có dạng \( a^2 - 2ab + b^2 \), với \( a = x \) và \( b = 3y \). Áp dụng công thức \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \):

\[
x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2
\]

**b)** Đa thức \( 4x^2 + 4x + 1 \):

Đa thức này có thể viết lại dưới dạng:

\[
4x^2 + 4x + 1 = (2x)^2 + 2(2x)(1) + 1^2 = (2x + 1)^2
\]

### Bài 15:
**a)** Tính giá trị của đa thức \( N = x^2 - 10x + 25 \) tại \( x = 55 \):

Đầu tiên, chúng ta có thể nhận thấy rằng \( N \) có thể được viết lại như sau:

\[
N = (x - 5)^2
\]

Tại \( x = 55 \):

\[
N = (55 - 5)^2 = (50)^2 = 2500
\]

**b)** Tính giá trị của đa thức \( P = \frac{x^4}{4} - x^2y + y^2 \) tại \( x = 4 \) và \( y = \frac{1}{2} \):

Thay giá trị \( x = 4 \) và \( y = \frac{1}{2} \):

\[
P = \frac{(4)^4}{4} - (4)^2 \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)^2
\]

Tính từng phần:

1. Tính \( \frac{(4)^4}{4} = \frac{256}{4} = 64 \)
2. Tính \( (4)^2 \left(\frac{1}{2}\right) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \)
3. Tính \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)

Bây giờ kết hợp lại:

\[
P = 64 - 8 + \frac{1}{4} = 56 + \frac{1}{4} = \frac{224}{4} + \frac{1}{4} = \frac{225}{4}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

- \( P = \frac{225}{4} \)

Tóm lại:
- Bài 14:
- a) \( (x - 3y)^2 \)
- b) \( (2x + 1)^2 \)
- Bài 15:
- a) \( N = 2500 \)
- b) \( P = \frac{225}{4} \)