Để giải phương trình

\[
\frac{1}{x} - \frac{x+2}{x-2} = -\frac{2}{x(x-2)},
\]

ta bắt đầu bằng cách đưa tất cả các hạng tử về cùng một bên của dấu "=". Sau đó, chúng ta sẽ thực hiện các phép biến đổi số.

Đầu tiên, tìm mẫu số chung cho các phân thức. Mẫu số chung ở đây là \(x(x-2)\).

Ta sẽ nhân tất cả các hạng tử trong phương trình với \(x(x-2)\) để loại bỏ mẫu số:

\[
x(x-2) \left(\frac{1}{x}\right) - x(x-2) \left(\frac{x+2}{x-2}\right) = x(x-2) \left(-\frac{2}{x(x-2)}\right).
\]

Bây giờ thực hiện các phép nhân:

\[
(x-2) - x(x+2) = -2.
\]

Từ đó, phương trình trở thành:

\[
x - 2 - (x^2 + 2x) = -2.
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
x - 2 - x^2 - 2x + 2 = 0,
\]

hay

\[
-x^2 - x = 0.
\]

Ta có thể nhân cả hai vế với -1 để dễ dàng xử lý hơn:

\[
x^2 + x = 0.
\]

Yếu tố ra x:

\[
x(x + 1) = 0.
\]

Do đó, ta có hai nghiệm:

\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1.
\]

Bây giờ, ta cần kiểm tra xem các nghiệm này có nằm trong miền xác định của phương trình hay không.

Vì phương trình có phân thức, ta cần đảm bảo mẫu số không bằng 0:

- Với \(x = 0\), mẫu số trở thành 0, do đó \(x = 0\) không hợp lệ.
- Với \(x = -1\), các mẫu số không bằng 0, do đó \(x = -1\) là nghiệm hợp lệ.

Kết luận, nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{-1}.
\]