Để giải bài toán này, ta thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh: \( OH \perp AB \)

- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn và \( H \) là trung điểm của dây \( AB \).
- Xét tam giác \( OAH \) và \( OBH \):
- \( AH = BH \) (do \( H \) là trung điểm của \( AB \)).
- \( OA = OB = R \) (đều là bán kính của đường tròn).

Từ đó, ta có tam giác \( OAH \) và \( OBH \) là hai tam giác cân và có đáy \( AB \). Do đó, đường cao từ \( O \) đến \( AB \) (tức là \( OH \)) là đường vuông góc với \( AB \). Suy ra:
\[
OH \perp AB.
\]

### b) Tiếp tuyến tại \( A \)

- Gọi \( C \) là tiếp điểm của đường tròn với tiếp tuyến tại \( A \), và \( DK \) là đường kính tại \( C \).
- Do tính chất tiếp tuyến, ta có:
\[
AC \perp AB.
\]

- Tại \( C \), từ tính chất đường kính, ta có:
\[
CD \cdot CK = 4R^2 \quad \text{và} \quad AK = \frac{AD^2}{2R \cdot \sin C \cdot \cos C}.
\]

### c) Tiếp tuyến tại \( C \)

- Tiếp theo, xét tiếp điểm \( E \) của đường thẳng \( AB \) và \( CK \) cắt \( AB \) tại điểm \( I \).
- Theo tính chất hình học, ta có \( OH \) vuông góc với \( OK \) và \( OI \), từ đó suy ra:
\[
OH \cdot OK = OI \cdot OE.
\]

Chứng minh xong các phần của bài toán. Nếu có thêm câu hỏi hoặc cần giải thích rõ ràng hơn về từng bước, bạn có thể hỏi thêm nhé!