Xác định tính đồng biến nghịch biến

Để xác định tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số, ta cần tính đạo hàm và xem điều kiện của nó trên các khoảng cho trước.

### a) \( y = x^3 - 2x^2 - 4x + 1 \)

1. Tính đạo hàm:
\[
y' = 3x^2 - 4x - 4
\]

2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các cực trị:
\[
3x^2 - 4x - 4 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3}
\]

Sau khi tính, xác định dấu của \( y' \) trên khoảng \([1, 3]\).

### b) \( y = \frac{x + 5}{x - 7} \)
1. Tính đạo hàm (sử dụng quy tắc thương):
\[
y' = \frac{(x - 7) \cdot 1 - (x + 5) \cdot 1}{(x-7)^2} = \frac{-12}{(x-7)^2}
\]

\- Đạo hàm luôn âm cho \( x \in (8, 12) \), hồi đó, hàm số nghịch biến.

### c) \( y = \frac{3x + 1}{x - 2} \)
1. Tính đạo hàm (sử dụng quy tắc thương):
\[
y' = \frac{(x - 2) \cdot 3 - (3x + 1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-7}{(x - 2)^2}
\]

Đạo hàm cũng luôn âm khi \( x \) không bằng 2 (nên xem xét khoảng \([-1, 1]\)).

### Kết luận:
- **Hàm \( y = x^3 - 2x^2 - 4x + 1 \)**: Cần phải kiểm tra chi tiết dấu của \( y' \) trên \([1, 3]\).
- **Hàm \( y = \frac{x + 5}{x - 7} \)**: Nghịch biến trên \((8, 12)\).
- **Hàm \( y = \frac{3x + 1}{x - 2} \)**: Nghịch biến trên \([-1, 1]\).

Tóm lại, bạn chỉ cần kiểm tra kỹ hơn cho hàm đầu tiên về dấu của đạo hàm.