Để xác định tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số, ta cần tính đạo hàm và xem điều kiện của nó trên các khoảng cho trước.

### a) \( y = x^3 - 2x^2 - 4x + 1 \)

1. Tính đạo hàm:
\[
y' = 3x^2 - 4x - 4
\]

2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các cực trị:
\[
3x^2 - 4x - 4 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3}
\]

Sau khi tính, xác định dấu của \( y' \) trên khoảng \([1, 3]\).

### b) \( y = \frac{x + 5}{x - 7} \)
1. Tính đạo hàm (sử dụng quy tắc thương):
\[
y' = \frac{(x - 7) \cdot 1 - (x + 5) \cdot 1}{(x-7)^2} = \frac{-12}{(x-7)^2}
\]

\- Đạo hàm luôn âm cho \( x \in (8, 12) \), hồi đó, hàm số nghịch biến.

### c) \( y = \frac{3x + 1}{x - 2} \)
1. Tính đạo hàm (sử dụng quy tắc thương):
\[
y' = \frac{(x - 2) \cdot 3 - (3x + 1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-7}{(x - 2)^2}
\]

Đạo hàm cũng luôn âm khi \( x \) không bằng 2 (nên xem xét khoảng \([-1, 1]\)).

### Kết luận:
- **Hàm \( y = x^3 - 2x^2 - 4x + 1 \)**: Cần phải kiểm tra chi tiết dấu của \( y' \) trên \([1, 3]\).
- **Hàm \( y = \frac{x + 5}{x - 7} \)**: Nghịch biến trên \((8, 12)\).
- **Hàm \( y = \frac{3x + 1}{x - 2} \)**: Nghịch biến trên \([-1, 1]\).

Tóm lại, bạn chỉ cần kiểm tra kỹ hơn cho hàm đầu tiên về dấu của đạo hàm.