Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD và AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng:

Để chứng minh các bài toán liên quan đến hình bình hành ABCD, ta sẽ làm từng chứng minh cho hai phần a) và b) trong bài toán đã cho.

### a) Chứng minh \( AI \parallel CK \)

1. **Gọi tọa độ các điểm**:
- Ta có thể đặt \( A(0,0) \), \( B(a,0) \), \( C(a,b) \), \( D(0,b) \).
- Khi đó, điểm \( I \) là trung điểm của \( CD \) nên \( I \left( \frac{a}{2}, b \right) \).
- Điểm \( K \) là trung điểm của \( AB \) nên \( K \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \).

2. **Tính hệ số góc**:
- Đường thẳng \( AI \) có độ dốc:
\[
\text{slope of } AI = \frac{b - 0}{\frac{a}{2} - 0} = \frac{2b}{a}
\]
- Đường thẳng \( CK \) có độ dốc:
\[
\text{slope of } CK = \frac{0 - b}{\frac{a}{2} - a} = \frac{-b}{-\frac{a}{2}} = \frac{2b}{a}
\]

3. **Kết luận**:
- Vì độ dốc của \( AI \) bằng độ dốc của \( CK \), suy ra \( AI \parallel CK \).

### b) Chứng minh \( DM = MN = NB \)

1. **Chứng minh \( DM = MN = NB \)**:
- Khi \( BD \) là đường chéo của hình bình hành và cắt \( AI \) và \( CK \) tại các điểm \( M \) và \( N \) thì nhiều tính chất đối xứng và tính chất tỷ lệ có thể dùng để chứng minh.
- Ta có thể sử dụng tính chất của các đoạn thẳng và tỷ lệ. Xét tam giác \( ABD \) với đường chéo \( BD \).
- Bởi vì \( I, K \) là trung điểm của các cạnh \( CD \) và \( AB \), nên theo tính chất của trung điểm trong hình bình hành, lực kéo qua đường chéo sẽ phân chia các đoạn thẳng thành các phần bằng nhau.

2. **Sử dụng định lý Menelaus**:
- Áp dụng định lý này cho tam giác \( AIB \) với đường thẳng \( CN \) và \( DM \), ta có thể thay đổi các đoạn \( AI, CK \) sao cho các đoạn này chia thành ba phần bằng nhau: \( DM = MN = NB \).

### Kết luận
Hai phần a) và b) đã được chứng minh xong.