Để chứng minh rằng tồn tại số có dạng \(20242024 \ldots 202400 \ldots 0\) chia hết cho \(2025\), chúng ta cần phân tích số \(2025\) trước tiên.

Số \(2025\) có thể phân tích thành tích các thừa số nguyên tố như sau:
\[
2025 = 5^2 \times 81 = 5^2 \times 3^4
\]
Do đó, để một số nào đó chia hết cho \(2025\), nó phải chia hết cho \(25\) (tức là \(5^2\)) và \(81\) (tức là \(3^4\)).

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng số có dạng \(202420240000 \ldots 0\) là chia hết cho \(25\) và \(81\).

### Chia hết cho \(25\):

Số \(202420240000 \ldots 0\) có các số \(0\) ở cuối. Để một số chia hết cho \(25\), hai chữ số tận cùng của nó cần phải là \(00\) hoặc \(25\), \(50\), hoặc \(75\). Từ hình thức chung của số này, ta thấy rằng nó sẽ luôn có hai chữ số tận cùng là \(00\).

Do đó, số này chia hết cho \(25\).

### Chia hết cho \(81\):

Để kiểm tra tính chia hết cho \(81\), ta cần tính tổng các chữ số của số trong dạng \(202420240000 \ldots 0\).

Giả sử số có \(n\) lần lặp \(2024\) và có \(m\) chữ số \(0\) ở cuối. Ta có thể viết tổng số chữ số như sau:

- Chữ số \(2\) xuất hiện \(n\) lần.
- Chữ số \(0\) xuất hiện \(m\) lần.
- Chữ số \(4\) xuất hiện \(n\) lần.
- Chữ số \(2\) xuất hiện \(n\) lần.

Tổng các chữ số sẽ là:
\[
S = 2n + 0 + 4n + 0 = 6n
\]

Để số chia hết cho \(81\), tổng này \(S\) phải chia hết cho \(81\).

Nếu \(n\) là bội của \(27\), thì \(S = 6n\) sẽ chia hết cho \(81\):
- Ví dụ, nếu chọn \(n = 27\), ta có \(S = 6 \times 27 = 162\), chia hết cho \(81\).

### Kết luận:

Có thể chọn đủ lớn \(n\) để cả điều kiện chia hết cho \(25\) và \(81\) đạt được. Do đó, tồn tại số có dạng \(202420240000 \ldots 0\) chia hết cho \(2025\).

Sau đó, ta có thể kết luận rằng tồn tại số dạng \(20242024 \ldots 202400 \ldots 0\) chia hết cho \(2025\).