a) Chứng minh AB < CD
Gọi E là giao điểm của CD và OQ.
Ta có: QC = QD (2 tiếp tuyến của (O) xuất phát từ Q)
OC = OD (cùng bằng bán kính của (O)
suy ra OQ là đường trung trực của CD
nên OQ vuông góc với CD
--> E là trung điểm của CD (định lý đường kính và dây).
>>> CD = 2EC
Chứng minh tương tự, ta được OP vuông góc với AB tại M và M là trung điểm của AB >>> AB = 2MA
Tam giác OEC vuông tại E có:
EC^2 = OC^2 - OE^2 = R^2 - OE^2 (1)
Tam giác OAM vuông tại M có:
AM^2 = OA^2 - OM^2 = R^2 - OM^2 (2)
Tam giác OME vuông tại E
nên OE < OM >>> OE^2 < OM^2 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: EC^2 > AM^2
nên EC > AM
mà CD = 2EC và AB = 2AM
Vậy CD > AB.
b) Chứng minh QP vuông góc với OP tại P
Tam giác ODQ vuông tại D có DE là đường cao nên OD^2 = OE.OQ
Tam giác OBP vuông tại B có BM là đường cao nên OB^2 =OM.OP
mà OB = OD = R
nên OE.OQ = OM.OP
suy ra: OE/OM = OP/OQ
Xét tam giác OME và tam giác OQP có:
góc MOE = góc QOP (góc chung)
và OE/OM = OP/OQ (chứng minh trên)
nên tam giác OME đồng dạng với tam giác OQP
do đó: góc OEM = góc OPQ
mà góc OEM = 90 độ
nên góc OPQ = 90 độ.
vậy QP vuông góc với OP tại P.