Cho bất phương trình \( 2x - 3y \geq 4x - 6y + 6 \). Điểm \( A(m; 2m + 5) \) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Giải trị nhỏ nhất của \( m \) là?

Để giải bất phương trình \( 2x - 3y \geq 4x - 6y + 6 \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Rút gọn và sắp xếp lại:**

\[
2x - 3y \geq 4x - 6y + 6
\]
Chuyển tất cả các số hạng về một phía:
\[
2x - 3y - 4x + 6y - 6 \geq 0
\]
Sắp xếp lại:
\[
-2x + 3y - 6 \geq 0
\]
Nhân cả hai vế với -1 (chú ý đổi dấu bất phương trình):
\[
2x - 3y + 6 \leq 0
\]
Hay viết lại:
\[
2x - 3y \leq -6
\]

2. **Sử dụng điểm \( A(m; 2m + 5) \):**

Ta cần xác định điều kiện để điểm \( A(m; 2m + 5) \) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Thay \( x = m \) và \( y = 2m + 5 \) vào bất phương trình:
\[
2m - 3(2m + 5) \leq -6
\]

3. **Giải bất phương trình:**

Tính giá trị bên trái:
\[
2m - 6m - 15 \leq -6
\]
Rút gọn:
\[
-4m - 15 \leq -6
\]
Chuyển vế:
\[
-4m \leq 9
\]
Nhân cả hai vế với -1 (lưu ý đổi dấu bất phương trình):
\[
4m \geq -9
\]
Chia cả hai vế cho 4:
\[
m \geq -\frac{9}{4}
\]

4. **Kết luận:**

Trị nhỏ nhất của \( m \) để điểm \( A(m; 2m + 5) \) thuộc miền nghiệm của bất phương trình là:
\[
\boxed{-\frac{9}{4}}
\]