Miền nghiệm của bất phương trình \(-2x + 3y \leq 6\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d: ax + by = 12\) (kể cả bờ d) và có chứa điểm \(O(0;0)\). Tính \(M = ab\)

Để tìm miền nghiệm của bất phương trình \(-2x + 3y \leq 6\) và xác định phương trình đường thẳng \(d: ax + by = 12\), ta làm như sau:

1. **Chuyển đổi bất phương trình**:
\[
-2x + 3y \leq 6 \implies 3y \leq 2x + 6 \implies y \leq \frac{2}{3}x + 2
\]

Đường thẳng tương ứng là \(y = \frac{2}{3}x + 2\).

2. **Xác định miền nghiệm**:
Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng phía dưới (bao gồm cả đường thẳng) so với đường thẳng \(y = \frac{2}{3}x + 2\).

3. **Phương trình của đường thẳng d**:
Đường thẳng \(d\) có dạng \(ax + by = 12\). Để nó là bờ của miền nghiệm, nó phải song song hoặc cắt đường thẳng \(y = \frac{2}{3}x + 2\).

4. **So sánh độ dốc**:
Đường thẳng song song sẽ có cùng độ dốc. Độ dốc của đường thẳng \(y = \frac{2}{3}x + 2\) là \(\frac{2}{3}\). Vậy, ta có:
\[
\frac{-a}{b} = \frac{2}{3} \implies -3a = 2b \implies b = -\frac{3}{2}a
\]

5. **Thay vào phương trình đường thẳng d**:
Thay giá trị của \(b\) vào phương trình:
\[
ax + \left(-\frac{3}{2}a\right)y = 12 \implies ax - \frac{3}{2}ay = 12
\]

Chia cả phương trình cho \(a\) (giả sử \(a \neq 0\)):
\[
x - \frac{3}{2}y = \frac{12}{a}
\]

6. **Tìm giá trị \(M = ab\)**:
Áp dụng \(b = -\frac{3}{2}a\):
\[
M = ab = a\left(-\frac{3}{2}a\right) = -\frac{3}{2}a^2
\]

Để đường thẳng chứa điểm \(O(0;0)\), áp dụng vào phương trình \(d\):
\[
a(0) + b(0) = 12 \text{ (điều này không thỏa mãn, điểm O không thuộc d)}
\]

Chúng ta cần phương trình sao cho đường thẳng đi qua điểm O. Dễ thấy, với điều kiện đó và điều kiện trên, ta có thể xét \(a = 3\) và \(b = -\frac{9}{2}\).

Khi đó:
\[
M = 3 \cdot \left(-\frac{9}{2}\right) = -\frac{27}{2}
\]

Cuối cùng, ta có giá trị \(M\) là:
\[
\boxed{-27}
\]