Cho số thực \( x \) thoả mãn \( 0 < x < 3 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \frac{4}{3 - x} + \frac{100}{x} + 2024 \), ta cần xác định miền xác định và quá trình biến đổi.

Chúng ta có \( 0 < x < 3 \). Đầu tiên, ta sẽ tính đạo hàm của \( A \):

\[
A = \frac{4}{3 - x} + \frac{100}{x} + 2024
\]

Ta tính đạo hàm:

\[
A' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3 - x}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{100}{x}\right)
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm, ta có:

\[
A' = \frac{4}{(3 - x)^2} + \left(-\frac{100}{x^2}\right)
\]

Đặt \( A' = 0 \):

\[
\frac{4}{(3 - x)^2} = \frac{100}{x^2}
\]

Giải phương trình này, ta có:

\[
4x^2 = 100(3 - x)^2
\]

Mở rộng bên phải:

\[
4x^2 = 100(9 - 6x + x^2)
\]
\[
4x^2 = 900 - 600x + 100x^2
\]

Chuyển các hạng tử về một phía:

\[
0 = 96x^2 - 600x + 900
\]

Chia cả phương trình cho 12:

\[
0 = 8x^2 - 50x + 75
\]

Giải phương trình bậc 2:

\[
x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 2400}}{16} = \frac{50 \pm 10}{16}
\]
\[
x_1 = \frac{60}{16} = 3.75 \quad \text{(không thỏa mãn điều kiện)}
\]
\[
x_2 = \frac{40}{16} = 2.5 \quad (thỏa mãn)
\]

Bây giờ kiểm tra dấu của đạo hàm \( A' \) trong khoảng \( (0, 3) \):

- Khi \( x < 2.5 \), \( A' > 0 \) (tăng).
- Khi \( x > 2.5 \), \( A' < 0 \) (giảm).

Vì vậy, \( A \) đạt cực tiểu tại \( x = 2.5 \).

Substituting \( x = 2.5 \) vào biểu thức \( A \):

\[
A(2.5) = \frac{4}{3 - 2.5} + \frac{100}{2.5} + 2024 = \frac{4}{0.5} + \frac{100}{2.5} + 2024
\]
\[
= 8 + 40 + 2024 = 2072
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

\[
\boxed{2072}
\]