Tìm x, y thuộc N sao cho: (x - 1)^2 + y^2 = 3?

Để giải phương trình \((x - 1)^2 + y^2 = 3\) với \(x, y \in \mathbb{N}\), ta sẽ tìm tất cả các cặp \( (x, y) \) thoả mãn.

Bắt đầu với \( (x - 1)^2 = a \) và \( y^2 = b \), ta có:

\[ a + b = 3 \]

Vì \(a\) và \(b\) không âm, ta sẽ tìm các giá trị hợp lệ của \(a\) và \(b\).

Các khả năng cho \(a\) và \(b\) (các giá trị không âm) là:

1. \(a = 0\) và \(b = 3\)
2. \(a = 1\) và \(b = 2\)
3. \(a = 2\) và \(b = 1\)
4. \(a = 3\) và \(b = 0\)

Bây giờ ta sẽ chuyển đổi các giá trị của \(a\) và \(b\) thành các giá trị của \(x\) và \(y\):

1. **Trường hợp \(a = 0\) và \(b = 3\)**:
\[
(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1
\]
\[
y^2 = 3 \implies y = \sqrt{3} \quad \text{(không thuộc }\mathbb{N}\text{)}
\]

2. **Trường hợp \(a = 1\) và \(b = 2\)**:
\[
(x - 1)^2 = 1 \implies x - 1 = 1 \text{ hoặc } x - 1 = -1
\]
\[
x = 2 \text{ hoặc } x = 0 \quad \text{(chỉ } x = 2 \text{ thuộc }\mathbb{N}\text{)}
\]
\[
y^2 = 2 \implies y = \sqrt{2} \quad \text{(không thuộc }\mathbb{N}\text{)}
\]

3. **Trường hợp \(a = 2\) và \(b = 1\)**:
\[
(x - 1)^2 = 2 \implies x - 1 = \sqrt{2} \text{ hoặc } x - 1 = -\sqrt{2} \quad \text{(không thuộc }\mathbb{N}\text{)}
\]

4. **Trường hợp \(a = 3\) và \(b = 0\)**:
\[
(x - 1)^2 = 3 \implies x - 1 = \sqrt{3} \text{ hoặc } x - 1 = -\sqrt{3} \quad \text{(không thuộc }\mathbb{N}\text{)}
\]

Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng không có giá trị nào của \(y\) là số tự nhiên tương ứng với bất kỳ giá trị nào của \(x\) cho phương trình ban đầu.

Do đó, phương trình \((x - 1)^2 + y^2 = 3\) không có nghiệm trong tập hợp số tự nhiên \( \mathbb{N} \).