Để chứng minh các điều cần thiết trong hình bình hành ABCD với E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC, ta sẽ làm theo từng phần trong câu hỏi.

### a) Chứng minh: \(BE = DF\) và \(\angle ABE = \angle CDF\)

1. **Ký hiệu các điểm và thuộc tính của hình bình hành:**
- ABCD là hình bình hành, nên ta có \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\).
- \(E\) là trung điểm của \(AD\) và \(F\) là trung điểm của \(BC\).

2. **Tính độ dài:**
- Vì \(E\) là trung điểm của \(AD\), ta có:
\[
AE = ED
\]
- Tương tự, vì \(F\) là trung điểm của \(BC\), ta có:
\[
BF = FC
\]
- Do hình bình hành có các cạnh đối bằng nhau, ta có \(AB = CD\) và \(AD = BC\). Do đó, \(BE\) và \(DF\) cũng có thể được phân tích theo các đoạn thẳng liên quan.

3. **Sử dụng định lý về các tam giác đồng dạng:**
- Xét tam giác \(ABE\) và tam giác \(CDF\):
- \(AB = CD\) (cạnh đối của hình bình hành).
- \(AE = ED\) (đoạn thẳng trung điểm).
- \(BE\) và \(DF\) là các đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau.

- Ta có cùng góc \(ABE\) và \(CDF\) (do góc trong hình bình hành).
- Do đó, ta có tam giác đồng dạng:
\[
\triangle ABE \sim \triangle CDF
\]
- Từ đó, suy ra:
\[
BE = DF \quad \text{và} \quad \angle ABE = \angle CDF
\]

### b) Chứng minh: \(BE \parallel DF\)

1. **Chứng minh hai góc đồng vị:**
- Vì góc \(ABE\) và \(\angle CDF\) bằng nhau từ phần a), nên:
\[
\angle ABE = \angle CDF
\]

2. **Sử dụng định lý:**
- Theo định lý về hai đường thẳng song song (nếu hai đường thẳng cắt nhau tạo thành các cặp góc đồng vị bằng nhau, thì hai đường thẳng đó song song), ta có:
\[
BE \parallel DF
\]

### Kết luận
Ta đã chứng minh được rằng:
1. \( BE = DF \) và \( \angle ABE = \angle CDF \).
2. \( BE \parallel DF \).

Từ đó, các yêu cầu của bài toán đã được hoàn tất.