Tìm giá trị trị nhỏ nhất của đa thức \( P(x) = \frac{-2}{x-2}\left(x^3 - x^2 - 2x\right) \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức \( P(x) = \frac{-2}{x-2}(x^3 - x^2 - 2x) \), trước tiên ta cần phân tích và đơn giản hóa biểu thức này.

### Bước 1: Đầu tiên, hãy rút gọn biểu thức \( x^3 - x^2 - 2x \).

Ta có:
\[
x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2)
\]
Hệ số của phương trình bậc hai có thể được phân tích thành:
\[
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
\]
Vì vậy:
\[
x^3 - x^2 - 2x = x(x - 2)(x + 1)
\]
### Bước 2: Thay vào biểu thức \( P(x) \).

Ta có:
\[
P(x) = \frac{-2}{x-2} \cdot x(x-2)(x+1)
\]
Khi rút gọn, ta nhận được:
\[
P(x) = -2x(x + 1) \quad \text{(với } x \neq 2\text{)}
\]

### Bước 3: Tính toán giá trị của \( P(x) \).

Biểu thức \( -2x(x+1) \) là một hàm bậc hai. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta có thể tìm điểm cực tiểu của hàm này. Cách dễ nhất là tính đạo hàm:

\[
P'(x) = -2 \left( x + x + 1 \right) = -2(2x + 1)
\]

### Bước 4: Giải phương trình \( P'(x) = 0 \).

Ta giải:
\[
-2(2x + 1) = 0 \implies 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}
\]

### Bước 5: Tính giá trị của \( P(x) \) tại \( x = -\frac{1}{2} \).

\[
P\left(-\frac{1}{2}\right) = -2\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2} + 1\right) = -2\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)
\]
\[
= -2 \cdot -\frac{1}{4} = \frac{1}{2}
\]

### Bước 6: Kiểm tra giới hạn khi \( x \) tiệm cận với các giá trị đặc biệt.

Để chắc chắn rằng đây là giá trị nhỏ nhất, chúng ta cần kiểm tra hành vi của \( P(x) \) khi \( x \to 2 \) và \( x \to \pm \infty \):

- Khi \( x \to 2 \), \( P(x) \) không xác định.
- Khi \( x \to -\infty \) hoặc \( x \to +\infty \), \( P(x) \) trở thành \(-2x^2\), tức là nó tiến về \(-\infty\).

### Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của đa thức \( P(x) \) là:
\[
\boxed{\frac{1}{2}}
\] tại \( x = -\frac{1}{2} \).