Để chứng minh bốn điểm \( M, N, P, Q \) đồng nằm trên một đường tròn, ta có thể sử dụng một vài tính chất hình học.

### Bước 1: Xác định tọa độ các điểm

Giả sử tứ giác \( ABCD \) có tọa độ như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)

### Bước 2: Tìm tọa độ các điểm trung điểm

Từ tọa độ các đỉnh của tứ giác, ta tính được tọa độ các trung điểm:
- \( M = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( N = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \)
- \( P = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{b+b}{2}\right) = \left(0, b\right) \)
- \( Q = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{b+0}{2}\right) = \left(0, \frac{b}{2}\right) \)

### Bước 3: Sử dụng tính chất của tứ giác

Vì \( \angle C + \angle D = 90^\circ \), ta có:

1. \( \angle CDN = \angle DAB = \angle CMB = 90^\circ \)
2. Suy ra: \( M, N, P, Q \) là các trung điểm của các đoạn nối \( AB, BD, DC, CA \) và các cặp điểm \( (M, P), (N, Q) \) tạo thành các tam giác vuông.

### Bước 4: Chứng minh cùng nằm trên đường tròn

Do \( \angle MNP \) và \( \angle MQP \) đều bằng \( 90^\circ \):
- \( MQ \) là đường kính của đường tròn đi qua bốn điểm nếu tồn tại một vòng tròn đi qua ba điểm \( M, N, P \) thì điểm còn lại \( Q \) cũng sẽ nằm trên đường tròn đó.

### Kết luận

Bằng cách sử dụng tính chất của tứ giác và các trung điểm cùng với định lý đường tròn, ta có thể kết luận rằng bốn điểm \( M, N, P, Q \) cùng nằm trên một đường tròn.