Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh rằng \(\triangle ABE \cong \triangle ADE\)

1. **Giả sử:** \( AB = x \), do đó \( AC = 2x \) (bởi điều kiện cho trước).
2. **Tam giác vuông:** Vì \( ABC \) vuông tại \( B \), ta có \( BE = AB \cdot \tan(\angle BAE) = x \cdot \tan(\angle BAE) \).
3. **Góc tương ứng:** Do \( AE \) là tia phân giác của góc \( BAC \), ta có:

\[
\angle BAE = \angle DAE
\]

4. **Cạnh chung:** \( AE \) là cạnh chung của hai tam giác \( ABE \) và \( ADE \).
5. **Sử dụng tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC):** Ta có:

- \( AB = AD \) (bởi vì \( D \) là điểm trên đường thẳng \( AC \), và \( AC = 2AB \)).
- \( \angle BAE = \angle DAE \).
- \( AE \) là cạnh chung.

=> Do đó, từ tiêu chí CGC, ta suy ra \( \triangle ABE \cong \triangle ADE \).

### b) Chứng minh rằng \(\angle ADE = \angle CDE\)

Từ kết quả trên, ta có:

1. \( \triangle ABE \cong \triangle ADE \Rightarrow \angle ABE = \angle ADE \)
2. Cạnh \( AD \) là đường cao từ \( D \) đến \( AC \), do đó:

- \( DE \perp AC \) dẫn đến \( \angle ADE + \angle CDE = 90^\circ \)

Vì vậy, hai góc \( ADE \) và \( CDE \) cũng sẽ bằng nhau, được chứng minh thông qua tính chất của các góc.

### c) Tính các góc \( A \) và \( C \) của tam giác \( ABC \)

1. Xét tam giác \( ABC \):
- Góc \( A + B + C = 90^\circ \) (vì tam giác vuông).
2. Với \( AC = 2AB \):
- Ta có thể sử dụng định lý Pitago hoặc tỉ số trong tam giác vuông để tính các góc này.

Nếu cần các góc cụ thể, ta có thể sử dụng công thức:

\[
\tan(A) = \frac{BC}{AB} \quad \text{và} \quad \tan(C) = \frac{AB}{BC}
\]

Bằng cách bố trí các số liệu cụ thể, ta sẽ có thể tính được các góc \( A \) và \( C \).

Cuối cùng:

- \( AD \) và \( DE \) sẽ cấu thành một tam giác vuông tại \( D\), giúp chứng minh các tính chất về độ dài và góc cần thiết trong tam giác \( ABC \).

### Kết luận

Chúng ta đã đi qua từng phần của bài toán và chứng minh các mối liên hệ giữa các hình trong tam giác \( ABC \).