Gọi hai số tự nhiên cần tìm là \( x \) và \( y \).

Theo đề bài, chúng ta có hai điều kiện:

1. Tổng của hai số là 2007:
\[
x + y = 2007
\]

2. \( \frac{1}{2} y + 9 = \frac{1}{3} x \):
Chúng ta có thể biến đổi điều kiện này để dễ giải hơn. Đầu tiên, nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số:
\[
3y + 54 = 2x
\]

Giờ chúng ta đã có hệ phương trình sau:
\[
\begin{cases}
x + y = 2007 \quad (1) \\
2x - 3y = 54 \quad (2)
\end{cases}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này. Từ phương trình (1), ta có thể tìm \( y \) theo \( x \):
\[
y = 2007 - x \quad (3)
\]

Thay (3) vào (2):
\[
2x - 3(2007 - x) = 54
\]
Giải phương trình này:
\[
2x - 6021 + 3x = 54
\]
\[
5x - 6021 = 54
\]
\[
5x = 6075
\]
\[
x = 1215
\]

Bây giờ, ta thay giá trị \( x \) vào phương trình (3) để tìm \( y \):
\[
y = 2007 - 1215 = 792
\]

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là:
\[
x = 1215 \quad \text{và} \quad y = 792
\]

**Kiểm tra lại điều kiện thứ hai:**
Tính \( \frac{1}{2}y + 9 \):
\[
\frac{1}{2} \times 792 + 9 = 396 + 9 = 405
\]

Tính \( \frac{1}{3}x \):
\[
\frac{1}{3} \times 1215 = 405
\]
Cả hai bằng nhau, vì vậy điều kiện đúng.

Vậy, hai số đó là \( 1215 \) và \( 792 \).