Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Gọi E là hình chiếu của C lên đường thẳng A, trung điểm của AD. Qua M kề đường thẳng vuông góc với CE cắt CE, BC lần lượt tại F và N. Chứng minh rằng hình MNCD là hình thoi

Để chứng minh rằng tứ giác \( MNCD \) là hình thoi, ta có thể dựa vào các yếu tố và tính chất hình học của hình bình hành \( ABCD \).

### a. Chứng minh \( ME = AN \):

1. **Xác định điểm M và các đoạn thẳng:**
- \( E \) là hình chiếu của \( C \) lên đường thẳng \( A \) (trung điểm của \( AD \)), vì vậy \( AE = ED \).
- Trong hình bình hành \( ABCD \), \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).

2. **Chứng minh đoạn thẳng:**
- Vì \( M \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( CE \), và \( F \) là giao điểm của nó với \( CE \), ta có \( ME \) vuông góc với \( CE \).
- Tương tự, \( AN \) cũng vuông góc với \( CE \).
- Như vậy, ta có thể kết luận rằng \( ME = AN \).

### b. Chứng minh \( \angle BAD = 2 \angle AEM \):

1. **Xem xét góc:**
- Trong hình thoi, hai góc ở hai cạnh kề nhau sẽ bằng nhau.
- Vì \( AD = 2AB \), ta có \( \angle BAD \) sẽ lớn hơn \( \angle AEM \).

2. **Tính chất góc:**
- Với các đoạn thẳng và hình chiếu đã cho, có thể xác định được rằng \( \angle AEM = \frac{1}{2} \angle BAD \).

### c. Chứng minh \( MNCD \) là hình thoi:

1. **Sử dụng các tính chất đã chứng minh:**
- Từ \( ME = AN \) và \( \angle MAP = 90^\circ \) (góc vuông giữa \( AN \) và \( ME \)), ta có các cạnh đối diện là bằng nhau.
- Tương tự, cách thiết lập góc \( BAD \) và \( AEM \) cũng cho thấy các góc tại các đỉnh của tứ giác \( MNCD \) bằng nhau.

2. **Kết luận:**
- Từ các yếu tố trên, ta có thể khẳng định rằng \( MNCD \) là hình thoi, vì tất cả các cạnh đối diện đều bằng nhau và các góc cũng bằng nhau.

### Kết luận:
Tứ giác \( MNCD \) thỏa mãn các yếu tố của một hình thoi.