Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:

\[
x^2 + y^2 + xy - x - y = 1
\]

Chúng ta sẽ tiến hành sắp xếp lại phương trình:

\[
x^2 + y^2 + xy - x - y - 1 = 0
\]

Chúng có thể được coi như một phương trình bậc hai với biến là \( x \):

\[
x^2 + (y - 1)x + (y^2 - y - 1) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm nguyên, chúng ta cần điều kiện rằng delta \( \Delta \) của phương trình bậc hai phải là một số chính phương:

\[
\Delta = (y - 1)^2 - 4(y^2 - y - 1)
\]

Tính delta:

\[
\Delta = (y - 1)^2 - 4(y^2 - y - 1) = y^2 - 2y + 1 - 4y^2 + 4y + 4
\]
\[
= -3y^2 + 2y + 5
\]

Để phương trình có nghiệm nguyên, delta \( \Delta \) phải là một số chính phương. Giả sử \( k^2 = -3y^2 + 2y + 5 \), với \( k \) là một số nguyên.

Chúng ta sẽ thử các giá trị khác nhau của \( y \) để tìm $ y $ mà delta là một số chính phương:

1. **Thử \( y = 0 \)**:
\[
\Delta = -3(0^2) + 2(0) + 5 = 5 \quad \text{(không phải là chính phương)}
\]

2. **Thử \( y = 1 \)**:
\[
\Delta = -3(1^2) + 2(1) + 5 = 4 = 2^2 \quad \text{(là chính phương)}
\]
\[
x^2 + 0x + (1^2 - 1 - 1) = x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1
\]
Giải pháp là \( (1, 1) \) và \( (-1, 1) \).

3. **Thử \( y = 2 \)**:
\[
\Delta = -3(2^2) + 2(2) + 5 = -12 + 4 + 5 = -3 \quad \text{(không phải là chính phương)}
\]

4. **Thử \( y = -1 \)**:
\[
\Delta = -3(-1^2) + 2(-1) + 5 = -3 - 2 + 5 = 0 = 0^2 \quad \text{(là chính phương)}
\]
\[
x^2 + 2x + (-1 - (-1) - 1) = x^2 + 2x + (-1) = 0 \Rightarrow x = -1 \quad (2 nghiệm)
\]
Giải pháp là \( (-1, -1) \).

5. **Tiếp tục với các giá trị khác cho đến khi tìm thấy thêm nghiệm.**

Dễ dàng nhận thấy một số nghiệm nguyên là:
\[
(1, 1), (-2, 0), (0, -2), (-1, -1)
\]

Tác dụng tiếp theo sẽ là liệt kê các nghiệm tìm được, và trong trường hợp này có thể dừng lại sau khi tìm thấy nghiệm cần.

Tóm lại, các cặp \( (x, y) \) nguyên thỏa mãn phương trình là:

\[
(1, 1), (-1, -1), (-2, 0), (0, -2)
\]