Để tìm các giá trị của tham số \( m \) sao cho phương trình \( x^2 - 2(m+1)x + (m^2 + 3) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, chúng ta phải đảm bảo rằng các hệ số của phương trình thỏa mãn điều kiện của định lý Viète, cùng với điều kiện có hai nghiệm phân biệt.

### Bước 1: Điều kiện có hai nghiệm phân biệt
Phương trình bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]

Trong trường hợp của chúng ta, \( a = 1\), \( b = -2(m+1) \) và \( c = m^2 + 3 \). Do đó,

\[
\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + 3)
\]
\[
= 4(m+1)^2 - 4(m^2 + 3)
\]
\[
= 4[(m+1)^2 - (m^2 + 3)]
\]
\[
= 4[m^2 + 2m + 1 - m^2 - 3]
\]
\[
= 4[2m - 2]
\]
\[
= 8(m - 1)
\]

Để có hai nghiệm phân biệt, ta có điều kiện:

\[
8(m - 1) > 0 \implies m - 1 > 0 \implies m > 1
\]

### Bước 2: Điều kiện về tổng và tích của nghiệm
Theo định lý Viète, ta có:

\[
x_1 + x_2 = 2(m + 1)
\]
\[
x_1 x_2 = m^2 + 3
\]

Theo giả thiết, ta có:

\[
|x_1| + |x_2| = 10
\]

Sử dụng bất đẳng thức tam giác, chúng ta có:

\[
|x_1| + |x_2| \geq |x_1 + x_2| \implies 10 \geq |2(m + 1)|
\]

Do đó:

\[
|2(m + 1)| \leq 10 \implies |m + 1| \leq 5
\]

Giải bất đẳng thức này:

\[
-5 \leq m + 1 \leq 5
\]

Trừ 1 từ mọi phía:

\[
-6 \leq m \leq 4
\]

### Bước 3: Kết hợp các điều kiện
Chúng ta đã có hai điều kiện:

1. \( m > 1 \)
2. \( -6 \leq m \leq 4 \)

Kết hợp hai điều kiện này, ta có:

\[
1 < m \leq 4
\]

### Kết luận
Các giá trị của tham số \( m \) sao cho phương trình \( x^2 - 2(m+1)x + (m^2 + 3) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( |x_1| + |x_2| = 10 \) là khoảng:

\[
m \in (1, 4]
\]