Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh tứ giác ABNC là hình bình hành.

1. **Xét các đoạn thẳng**: Khi kẻ đường thẳng song song từ A đến NP và MN, thì ta có:
- AB // NP
- AC // MN
2. **Tính chất hình bình hành**: Ta biết rằng trong một tứ giác, nếu hai cặp cạnh đối diện song song thì tứ giác đó là hình bình hành.
3. Do đó, với AB // NP và AC // MN, ta có:
- AB // AC và BC // AN
- Kết hợp với định nghĩa hình bình hành, có thể kết luận rằng tứ giác ABNC là hình bình hành.

---

### b) Từ B kẻ BH vuông góc với AN, từ C kẻ CK vuông góc với AN (I, K thuộc AN). Chứng minh BH = CK.

1. **Từ B và C kẻ đường thẳng vuông góc**: Ta có:
- B là điểm trên đường thẳng MN
- C là điểm trên đường thẳng NP
2. **Tính chất đặc biệt**: Do ABNC là hình bình hành, độ dài của các đoạn thẳng nối từ các điểm B và C đến AN là bằng nhau.
3. Suy ra từ tính chất này:
- Nếu B kẻ BH vuông góc với AN và C kẻ CK vuông góc với AN thì ta có BH = CK.

---

### c) Kéo dài BH cắt NP tại I, kéo dài CK cắt AB tại G, BC cắt HK tại O. Chứng minh G, O, I thẳng hàng.

1. **Lập phương trình**: Do BH và CK đều vuông góc với AN, nên điểm G và O sẽ cùng nằm trên một đường thẳng đi qua A mà tại đó AB và AC cắt nhau.
2. **Xét các điểm**: G nằm trên AB, O nằm trên BC và I nằm trên NP, tất cả đều thỏa mãn cùng phương cùng chiều với AN.
3. **Kết luận**: Ta có thể suy ra G, O, I thẳng hàng vì tam giác ABN, ABC đều có các đường thẳng song song và cùng vuông góc với AN.

Overall, bài toán này sử dụng các tính chất của hình bình hành, song song và các đường thẳng vuông góc để chứng minh.