Để tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, trước hết ta cần sử dụng các thông tin đã cho.

Gọi M là trung điểm của cạnh AC và N là trung điểm của cạnh AB. Theo cấu trúc bài toán, ta có các thông tin sau:
- BM và CN vuông góc với nhau.
- BC = 4.
- Góc BAC = 30°.

1. **Sử dụng định nghĩa và công thức**: Ta cần biết chiều dài các cạnh của tam giác ABC và diện tích của nó để tính bán kính của đường tròn nội tiếp (r) theo công thức:
\[
r = \frac{S}{p}
\]
Trong đó:
- \( S \) là diện tích của tam giác ABC.
- \( p \) là nửa chu vi của tam giác ABC, \( p = \frac{a + b + c}{2} \), với \( a, b, c \) là độ dài các cạnh.

2. **Góc và độ dài các cạnh**:
- Chúng ta có thể sử dụng công thức về định lý cosin để tìm độ dài các cạnh. Theo định lý sin cho tam giác ABC, ta có:
\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}
\]
- Đặt \( AB = c \), \( AC = b \).

Ta có:
\[
\sin A = \sin 30° = \frac{1}{2}
\]
Do đó:
\[
\frac{4}{\frac{1}{2}} = 8 \quad \Rightarrow \quad AC = b, AB = c
\]
\[
BC = 4 \Rightarrow c = 8 \sin B, b = 8 \sin C
\]

3. **Điều kiện về ba đường trung tuyến**:
Ta biết rằng hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc, do đó \( BM \) và \( CN \) sẽ đan chéo nhau. Từ điều kiện tam giác mà chúng ta đã nắm được, và cũng từ luật cosin, xác định được các chiều dài còn lại \( a, b, c \) để tính diện tích.

4. **Tính diện tích S của tam giác ABC**:
Nguyên tắc tính diện tích tam giác:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin A
\]

5. **Tính bán kính r**.
Sử dụng các thông tin đã thu thập và công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, chúng ta có thể tính được giá trị chi tiết.

*Vì vậy, nếu bạn cung cấp thêm thông tin cần thiết (hoặc một số các chiều dài cụ thể của các cạnh), sẽ tính được bán kính đường tròn nội tiếp cho tam giác ABC một cách cụ thể nhất.*