Cho tam giác ABC vuông tại A (AB = AC), đường cao AH (H thuộc BC), HC = 9 cm

Để giải bài toán này, ta sẽ áp dụng một số kiến thức về tam giác vuông và tỉ lệ trong tam giác.

**Giả thiết:**
- Tam giác ABC vuông tại A với AB = AC.
- H là chân đường cao từ A xuống BC.
- HC = 9 cm.

**a) Tính AH:**

Trong tam giác vuông ABC, ta có:
- \( AB = AC \) (giả sử là độ dài x).
- H là chân đường cao từ A, chia BC thành hai đoạn: BH và HC.

Áp dụng định lý Pythagoras cho hai tam giác vuông AHB và AHC, ta có:

1. \( AH^2 + HC^2 = AC^2 \)
2. \( AH^2 + BH^2 = AB^2 \)

Với HC = 9 cm, ta có thể đặt HC là \( c = 9 \) cm.

Do đó:
1. \( AH^2 + 9^2 = x^2 \) (1)
2. \( AH^2 + (b - 9)^2 = x^2 \) (2)

Do \( AB = AC \Rightarrow b = c \Rightarrow b = 9 \) cm.

Bây giờ chúng ta có thể thay thế vào công thức (1):
\[ AH^2 + 81 = x^2 \]
Từ đó:
\[ AH^2 = x^2 - 81 \] (3)

Ta cũng có:
- \( HC = 9 \implies BH + HC = BC \)
- \( BH = AB - HC \)
- \( BC = BC = b = x \)

Chúng ta sẽ tìm thêm thông tin để tính được AH. Tiếp theo, áp dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:

\[ AH = \frac{BC \cdot HC}{AC} \]
Trong trường hợp này:
\[ AC = x \]
Từ đó, ta có:
\[ AH = \frac{BC \cdot 9}{x} \]

**b) Chứng minh \( AD = AE = AC \) và \( AH^2 = BD \cdot CE \):**

Áp dụng định lý trong tam giác vuông, ta có thể chứng minh quan hệ này thông qua các công thức về các đoạn thẳng trong tam giác.

Chú ý: Tùy thuộc vào giá trị cụ thể của x và các đoạn thẳng, bạn có thể tính AH đầy đủ và chứng minh mối quan hệ các đoạn thẳng.

Nếu cần thêm thông tin cụ thể, bạn có thể cung cấp thêm dữ liệu để có thể giải quyết vấn đề tốt hơn!