Để tính bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \) có \( AB = 5 \), \( AC = 8 \) và \( \angle BAC = 60^\circ \), trước tiên ta cần tìm độ dài cạnh \( BC \) bằng cách sử dụng định lý cosin.

Áp dụng định lý cosin cho tam giác \( ABC \):

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)
\]

Thay giá trị vào công thức:

\[
BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)
\]

\[
BC^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}
\]

\[
BC^2 = 25 + 64 - 40
\]

\[
BC^2 = 49 \Rightarrow BC = 7
\]

Bây giờ, chúng ta có các cạnh của tam giác \( ABC \):
- \( a = BC = 7 \)
- \( b = AC = 8 \)
- \( c = AB = 5 \)

Tiếp theo, chúng ta tính nửa chu vi \( s \):

\[
s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 8 + 5}{2} = 10
\]

Bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp được tính theo công thức:

\[
r = \frac{S}{s}
\]

Trong đó, \( S \) là diện tích của tam giác. Diện tích \( S \) có thể được tính bằng công thức Heron:

\[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\]

Thay giá trị vào:

\[
S = \sqrt{10 \cdot (10-7) \cdot (10-8) \cdot (10-5)} = \sqrt{10 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5}
\]

\[
S = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}
\]

Giờ tính bán kính \( r \):

\[
r = \frac{S}{s} = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}
\]

Vậy bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \) là \( \sqrt{3} \).