Tìm n nguyên dương để n + 10 chia hết cho 2n +1

Để tìm các giá trị nguyên dương của \( n \) sao cho \( n + 10 \) chia hết cho \( 2n + 1 \), ta sẽ xem xét điều kiện chia hết này.

Điều kiện rằng \( n + 10 \) chia hết cho \( 2n + 1 \) có thể được biểu diễn bằng công thức sau:
\[
n + 10 = k(2n + 1)
\]
với \( k \) là một số nguyên.

Ta có thể viết lại phương trình trên như sau:
\[
n + 10 = 2kn + k \implies n - 2kn = k - 10 \implies n(1 - 2k) = k - 10
\]

Vì \( n \) là nguyên dương, để \( n \) có giá trị dương, ta cần \( 1 - 2k \) phải khác 0 và có dấu cùng với \( k - 10 \).

Chúng ta xét các trường hợp cho \( k \):

1. \( 1 - 2k > 0 \) thì \( k < \frac{1}{2} \) (k phải là số nguyên không âm) nên \( k = 0 \):
- Khi \( k = 0 \):
\[
n(1 - 2 \cdot 0) = 0 - 10 \implies n = -10 \quad \text{(không hợp lệ vì n phải dương)}
\]

2. \( k = 1 \):
- Khi \( k = 1 \):
\[
n(1 - 2 \cdot 1) = 1 - 10 \implies n(-1) = -9 \implies n = 9
\]

3. \( k = 2 \):
- Khi \( k = 2 \):
\[
n(1 - 2 \cdot 2) = 2 - 10 \implies n(-3) = -8 \implies n = \frac{8}{3} \quad \text{(không phải nguyên số)}
\]

4. \( k \geq 3 \):
- Khi \( k \geq 3 \), thì \( 1 - 2k \) sẽ âm, trong khi \( k - 10 \) sẽ âm khi \( k < 10 \), không thể nào có \( n \) dương.

Vậy chỉ có một giá trị \( n = 9 \) thỏa mãn điều kiện.

Kết luận, \( n \) nguyên dương duy nhất sao cho \( n + 10 \) chia hết cho \( 2n + 1 \) là:
\[
\boxed{9}
\]