Để tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) trong mô hình \(P(t) = \frac{a}{b + e^{-0.75t}}\), chúng ta sẽ sử dụng thông tin về quần thể tại thời điểm \(t = 0\) và tốc độ tăng trưởng ban đầu.

1. **Tại \(t = 0\)**:
\[
P(0) = \frac{a}{b + e^{0}} = \frac{a}{b + 1}
\]
Theo đề bài, \(P(0) = 20\):
\[
\frac{a}{b + 1} = 20 \implies a = 20(b + 1)
\]

2. **Tốc độ tăng trưởng**:
Để tìm tốc độ tăng trưởng tại \(t = 0\), chúng ta tính đạo hàm của \(P(t)\):
\[
P'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{a}{b + e^{-0.75t}} \right)
\]
Sử dụng quy tắc thương, ta có:
\[
P'(t) = \frac{0 - a \cdot (0.75 e^{-0.75t})}{(b + e^{-0.75t})^2} = \frac{0.75a e^{-0.75t}}{(b + e^{-0.75t})^2}
\]
Tại \(t = 0\), ta có:
\[
P'(0) = \frac{0.75a}{(b + 1)^2}
\]
Theo đề bài, \(P'(0) = 12\):
\[
\frac{0.75a}{(b + 1)^2} = 12
\]

3. **Giải hệ phương trình**:
Từ phương trình \(a = 20(b + 1)\), ta thay vào phương trình tốc độ tăng trưởng:
\[
\frac{0.75 \cdot 20(b + 1)}{(b + 1)^2} = 12
\]
Rút gọn:
\[
\frac{15(b + 1)}{(b + 1)^2} = 12 \implies 15 = 12(b + 1)
\]
Giải phương trình:
\[
15 = 12b + 12 \implies 3 = 12b \implies b = \frac{1}{4}
\]

Thay giá trị \(b\) vào phương trình tìm \(a\):
\[
a = 20\left(\frac{1}{4} + 1\right) = 20 \cdot \frac{5}{4} = 25
\]

4. **Kết quả**:
\[
a = 25, \quad b = \frac{1}{4}
\]

5. **Hành vi của quần thể về lâu dài**:
Khi \(t\) tiến đến vô cùng, \(e^{-0.75t} \rightarrow 0\), do đó:
\[
P(t) \rightarrow \frac{a}{b} = \frac{25}{\frac{1}{4}} = 100
\]
Vậy về lâu dài, quần thể nấm men sẽ tiến tới giá trị tối đa là 100 tế bào.