Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước một.

1. **Chứng minh tứ giác AHFK là hình chữ nhật:**

- Ta đã có điểm H trên AB và K trên AD sao cho FH vuông góc với AB và FK vuông góc với AD.
- Xét góc AHF:
- Tia HF vuông góc với AB (theo định nghĩa), nên góc AHF = 90 độ.
- Xét góc AFK:
- Tia FK vuông góc với AD, nên góc AFK = 90 độ.
- Do đó, AHF và AFK đều có góc vuông.
- Hơn nữa, vì E là một điểm trên đường chéo BD và F là điểm trên tia đối của tia EC với EF = EC, nên AE = AF do đoạn EC bù nhau và nằm trên cùng một đường thẳng.
- Tồn tại 2 cặp cạnh đối diện AH = FK và AF = HK (do AE = AF và AH = FK).
- Vì tứ giác AHFK có 3 góc vuông và hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, nên AHFK là hình chữ nhật.

2. **Chứng minh AF song song với BD:**

- Ta biết rằng tứ giác ABCD là một hình chữ nhật, nên BD là một đường chéo.
- Trong tam giác AED, ta có EF = EC. Điều này cho thấy các đoạn tường đối của tứ giác AED có độ dài bằng nhau.
- Nên H và K là những điểm tương ứng của đoạn thẳng EC. Do đó, AF (kéo dài theo hướng vuông góc) sẽ song song với BD (đường chéo).
- Do đường thẳng AF vuông góc với cạnh AD (đoạn thẳng FK), nên AF và BD là hai đường thẳng song song trong không gian 2D này.

3. **Chứng minh ba điểm E, H, K thẳng hàng:**

- Ta có E nằm trên đường chéo BD, và H, K lần lượt nằm trên AB và AD.
- EF = EC, có nghĩa rằng E, H và K đều nằm trên một đường thẳng dài kéo theo là EF (vì cả EF và EC đều tan biến theo chiều trái và phải).
- Vị trí của E, H, K cho phép ta thấy rằng H và K là hình chiếu của E lên hai cạnh vuông góc nhau của hình chữ nhật ABCD.
- Vì vậy, ba điểm H, K, E là thẳng hàng theo cách mà nếu ta nối E với điểm H trên AB và điểm K trên AD, thì chúng sẽ nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường chéo BD.

Với những phân tích và chứng minh trên, chúng ta đã hoàn tất chứng minh yêu cầu của đề bài.